Steen Toft Jørgensen, DTU
CT-scanning: Radon-transformeret og sinogrammer
Radon-transformationen beregner resultatet af Röntgen-strålingen i én bestemt retning i en CT-scanner. Der dannes en funktion, som afhænger af 2 variable: ρ og φ.
Radon-transformationen er linjeintegralet langs linjen med parametrene ρ og φ.
Hvis funktionen f kun har værdien 1 og ellers er 0, så svarer linjeintegralet til at bestemme længden af linjestykket, hvor f er 1.
I alle nedenstående eksempler pånær det sidste med keglen antager f kun værdier 0 og 1. Området hvor f er 1 er kompakt, dvs. afsluttet og begrænset.
Dette er langt fra virkeligheden med CT-scanning, men rigeligt svært matematisk.
Et sinogram viser resultatet af Radon-transformationen. Der plottes et densitetsplot med ρ (afstand til origo) på 1. aksen samt vinklen φ på 2. aksen (fra 0 til π).
Nedenfor er vist nogle beregninger, som bruger Maples gode faciliteter til tunge matematiske beregninger:
- Illustration af de områder, hvor funktioner, der skal Radon-transformeres, er 1: omraader.mw
eller omraader.pdf 
Til plotningen anvendes Steens egen "plot2D3D2"-pakke til Maple: mat/maple/pakker/index.htm
- Beregninger, som udnytter "assuming" i Maple til at finde udtryk for Radon-transformeret i visse simple situationer: radon.mw eller radon.pdf
Der er tale om 1 cirkel, 1 ring og 2 cirkler.
- Plotning af sinogrammer for de funktioner, som der ovenfor er lavet beregninger på. Plottes ud fra den Radon-transformerede: sinogram.mw eller sinogram.pdf
Der er tale om 1 cirkel og 1 ring. I begge tilfælde er Radon-transformationen uafhængig af vinklen φ.
- Sinogrammer fremstillet ved numerisk integration og "densityplot": radonS.mw eller radonS.pdf
Der er tale om 1 cirkel, 1 ring, 2 cirkler og 1 firkant.
NB: Beregningerne tager MEGET lang tid!
- Beregning af Radon-transformationen og plotning af sinogram i tilfældet med en "firkant": firkant.mw eller firkant.pdf
For at overskue de mange beregninger plottes illustrationerne i GeoGebra: 1) ρ = 0.6: firkant06.ggb 
2) ρ = 1.2: firkant12.ggb
- Beregning af Radon-transformationen og plotning af sinogram i tilfældet med en "trekant": trekant.mw eller trekant.pdf
- Beregning af Radon-transformationen og plotning af sinogram i tilfældet med en "forskudt cirkel": f-cirkel.mw eller f-cirkel.pdf
Anvendt til tidligere eksempler: 1 cirkel, 2 cirkler og 1 ring. Udvidet nu med 4 cirkler og med 18 cirkler i en ring om origo!
- Beregning af Radon-transformationen og plotning af sinogram i tilfældet med en "kegle" (også generaliseret): kegle.mw eller kegle.pdf