DTU Compute, Matematik 1, EnergiDes12- & Software12-holdene, 2020-2021

Tips til pensum og opgaverne på StoreDag, E20.

Uge 09 SD Teori (vigtige sætninger og metoder):
Definition 16.1, Struktursætningen & Superpositionsprincippet 16.7, Homogen 16.9, Inhomogent gæt, Panserformlen 16.15, Eksistens & Entydighed 16.22.

Opgaver:
Opgave 1: Panserformlen trænes i 3 tilfælde.
Opgave 2: Her anvendes lineær afbildning på en differentialligning.
Opgave 4: Superpositionsprincippet anvendes, når højresiden kan opdeles i en sum af flere udtryk.
Opgave 6: Modelopgave.
Opgave 7: Vektorrumsteorien anvendes på en differentialligning, som her er kompleks. Se hvordan 7B løses effektivt med Maple: u09sd7B.pdf.
Opgave 8: Her blandes igen begreberne underrum og en afbildningsmatrix ind i en differentialligning. Se hvordan 8A løses effektivt med Maple: u09sd8A.pdf.
Opgave 9: Man kan bruge meget tid på disse 7 differentialligniner, hvoraf kun 3 er lineære.

Maple:
dsolve({DiffLign,Beting}) løser differentialligning "DiffLign" evt. med begyndelsesbetingelsen "Beting".
unapply definerer en funktion, når det er indviklet! f:=unapply(udtryk , t) giver en funktion f(t).
Uge 08 SD Teori (vigtige sætninger og metoder):
Lineær afbildning, kerne, billedrum, afbildningsmatrix.
Mange vigtige sætninger og metoder, f.eks. 12.17, 12.18, 12.23, 12.25, 12.26, 12.34.

Opgaver:
Opgave 3 og 4: Gode GeoGebra-filer til at forstå begreberne.
Opgave 5B: Del af en gammel eksamensopgave (som de studerende havde lidt svært ved, fordi afbildningsmatricen ikke er givet).
Opgave 6C: Se 4 forskellige måder at bestemme afbildningsmatricen for spejling i y=½·x u08sd6.pdf (Min metode 3a og 3b følger metoden i opgave 6).
Opgave 7: Supervigtig opgave med basisskifte! Kommer de 3 typer basisskifter igennem.
Opgave 8: Her arbejdes med polynomier i P2(R), så det er noget helt andet.

GeoGebra:
Se opsætning af hjælpen under Uge 02 SD nedenfor.

Maple:
Nullspace(A) fra LinearAlgebra-pakken beregner en basis for kernen for en lineær afbildning med afbildningsmatricen A. Kernen er så span af den fundne basis.
Uge 07 SD Opgaver:
Opgave 4bA: Svær! Se elegant løsning på u07sd4bA.pdf.
Opgave 5A: Husk at underrum altid skal indeholde nulvektoren. Et 1-dimensionelt underrrum er en ret linje, som går gennem origo. Et 2-dimensionelt underrum er et plan, som går gennem origo.
Opgave 5D og 5E kan udvides - god forståelsesopgave! Se u07sd5DE.pdf.
Opgave 6B: Se løsning på u07sd6B.pdf.
Opgave 8C: Umiddelbart kan man svare P1, P2 og Q1 som basis. Kan dog anvende monomie basis, som ser pænere ud!
Uge 06 SD Videoer:
Se 2 gode YouTube-videoer om emnet: e-demoer.htm (den første er glemt på dagsordenen!).

Maple-demoer
Kør altid Maple-demoerne, så du lærer de nye Maple-kommandoer, som passer til det aktuelle pensum. Der er 2 Maple-demoer denne gang.

Maple-kommandoer:
Determinant beregner determinanten af en kvadratisk matrix.
NB: A[2..4,1..3] giver lettere en delmatrix af A bestående af række 2 til 4 og søjle 1 til 3.
Uge 06 LD Maple-demo og Maple-kommandoer
Maple-demoen introducerer 2 subrutiner kaldet prik og kryds.
NB: Frem for at skulle inkludere de 2 linjer i enhver opgave, hvor prik og kryds anvendes, kan du smart installere Steens Maple-pakke kaldet VektorAnalyse3.
Download og se hvordan den installeres: pakker/index.htm

Maple-kommandoer:
. [2D-math input] beregner skalarproduktet. Virker ikke i [Maple input]!
&x [Maple input] fra LinearAlgebra-pakken beregner krydsproduktet.
x [2D-math input] fra Common Symbols paletten beregner krydsproduktet.
Uge 06 SD Videoer:
Se 2 gode YouTube-videoer om emnet: e-demoer.htm (den første er glemt på dagsordenen!).

Maple-demoer
Kør altid Maple-demoerne, så du lærer de nye Maple-kommandoer, som passer til det aktuelle pensum. Der er 2 Maple-demoer denne gang.

Maple-kommandoer:
Determinant beregner determinanten af en kvadratisk matrix.
NB: A[2..4,1..3] giver lettere en delmatrix af A bestående af række 2 til 4 og søjle 1 til 3.
Uge 05 SD Videoer:
Se 2 gode YouTube-videoer om emnet: e-demoer.htm (glemt på dagsordenen!).

Maple-demoer
Kør altid Maple-demoerne, så du lærer de nye Maple-kommandoer, som passer til det aktuelle pensum. Der er 3 Maple-demoer denne gang.

Maple-kommandoer:
RowOperation kan anvendes til 3 forskellige typer rækkeoperationer.
LinearSolve(A,b) eller LinearSolve(T) bestemmer den fuldstændige løsning til det lineære ligningssystem.
ReducedRowEchelonForm giver en trappematrix.
NB: A%T eller A^%T samt Transpose(A) vil transponere en matrix A (som jo skrives AT i matematik).

Maple-tutor:
Prøv den smarte tutor til "Gauss-Jordan Elimination". Gå ind under menuen Tools, Tutors, Linear Algebra og vælg Gauss-Jordan Elimination.
Du kan se de enkelte steps, du kan selv afprøve de 3 typer rækkeoperationer, du kan indskrive din egen matrix og du kan få resultaterne ind i Maple-arket!

Opgaver:
Alle opgaver er relevante.
Opgave 5 er supervigtig af hensyn til hjemmeopgavesæt nr. 2, hvor der med garanti vil komme en opgave med en parameter a i koefficienterne! Start med Maple-demoen "Ligningssystemer advanced".
Løs opgave 5 med "simuleret håndregning", dvs. i Maple ved brug af RowOperation. Undervejs er det fint at bruge simplify til at reducere udtryk i matrix.
Uge 04 SD Teori (vigtige sætninger og metoder):
Taylorpolynomiet, Taylors restfunktion, Taylors grænseformel.
Vurdering af fejlen, når Taylorpolynomiet anvendes. Hertil anvendes Taylors restfunktion.

Videoer:
De fremragende videoer viser som regel anvendelse af pensum, gerne i anden sammenhæng. De blev produceret for 10 år siden.

Maple-demoer
Kør altid Maple-demoerne, så du lærer de nye Maple-kommandoer, som passer til det aktuelle pensum.
Fra nu af vil der være 1-2 Maple-demoer hver gang.

Maple-opsætning:
Jeg kører med standard-opsætningen i Maple, dvs. Document-mode og 2D-math input.
Det giver lækkerste design og gør at jeg kan lave udregningerne kompakt.

Opgaver:
Opgave 1-4 og 6-7 er basis. Introducerer Taylor approksimation og brug af Maple. Sørg for at lære kommandoer til komplekse operationer.
Opgave 5 handler om vurdering af fejlen ved brug af Taylors restfunktion. Maple til udregninger, men tænke og vurdere!
Opgave 8 handler om brug af Taylors grænseformel til bestemmelse af ikke-trivielle grænsværdier.

Kommandoer i Maple:
SHIFT_F5 skifter mellem "køres" og "ikke køres" i matematik-område.
ENTER gør at Maple beregner udtrykket. Svaret kommer midt på næste linje.
SHIFT_ENTER gør at svaret står lige efter udtrykket med et lighedstegn imellem.
mtaylor(f(x),x=x0,n) giver Taylorpolynomiet til grad n-1. NB: Et polynomium af grad n-1 har n led!
limit(f(x),x=x0) giver grænseværdien af funktionen f i punktet x0.
unapply definerer en funktion. SKAL anvendes ved indviklede udtryk, hvor f(x):= osv. ikke virker!
Uge 03 SD Teori (vigtige sætninger og metoder):
Nedstigningssætningen (metode) står i eNote 2.6 side 5 + eksempel 2.7 side 6. Det er en primitiv udgave af "polynomiums division"!
NB: Kun bruge nedstigningsmetoden, når man ved, at z0 er rod.
Binom ligning. 2. grads ligning (flere metoder afhængig af koefficienterne).
Konjugerede rødder i reelle polynomier. Rødder i relle polynomier af højere grad via faktorisering.

Opgaver:
I opgave 4 skal man ikke regne, men anvende teorien.
I opgave 5A skal nedstigningsmetoden bare læres! Og udnyttes snedigt i 5C og 5D.
I opgave 8 anvendes metoden i eksempel eNote 2.23, side 14-15.
9ABC eksamensopgave fra 2007. 9C er svær! Og 9D er en generalisering af 9C!!

Kommandoer i Maple:
solve(P(z)=0,z) f.eks. opgave 8B hvor solve(z^2 - (1 + 2*I)*z - 3/2 + 2*I = 0, z) giver 3/2 + I/2, -1/2 + 3*I/2.
RealDomain[solve](...) gør at at man kun får reelle løsninger, f.eks. i metoden 2.23, hvor man skal finde x og y.
Uge 02 SD Opgaver:
Opgave 6 er vigtig - man kan forvente noget lignende i hjemmeopgavesæt 1.

Relevante WikiPedia-links:
  • Eksakte værdier af sin, cos, tan for visse radiantal
  • Eksakte værdier (markeret på enhedscirkel)
  • Trigonometriske formler for dobbelte eller halve vinkler
  • Eulers formel

    Opsætning af GeoGebra, så man får hjælp til knapperne (Windows):
    Klik på tandhjulet øverst til højre. Vælg "layout". Sæt hak ved "Vis værktøjsbjælke hjælp".
    Gå ind i menuen "Indstillinger". Tryk på "Gem indstillinger".

    Kommandoer i Maple:
    I: den imaginære enhed (I, ikke i)!
    abs(z) eller |z|: numerisk værdi af z = modulus af z = afstand fra origo til z.
    argument(z): argumentet af z.
    conjugate(z) eller z: den konjugerede af z.
    polar(z): polære koordinater for z.
    evalc(z): rektangulære form for z.
  • Uge 01 SD Opgaver:
    Opgave 6: "Realkriteriet" er misvisende overskrift. Bruges ikke i besvarelsen.
    Opgave 7: "Rationale tals størrelse (advanced)", er slet ikke avanceret, men simpel!