DTU Compute, Matematik 1, Software123-holdene, 2022-2023

E22
Tips til pensum og opgaverne på StoreDag

Uge 13 SD Teori:
Metode 18.1, sætning 18.2, inhomogen metode 18.6/18.9/18.11/18/13, superpositionsprincippet sætning 18.15, den komplekse gættemetode 18.18, eksistens og entydighed sætning 18.20.

Maple:
En partikulær løsning, når højresiden rummer sin og cos: sin-cos.pdf
Den komplekse gættemetode med et komplekst c frem for a+i·b: c-gaet.pdf
Programmeret generel metode til partikulær løsning, når højresiden er et polynomium: poly2dif.pdf

Opgaver:
Opgave 1A med Maple (effektivt): u13sd1A.pdf
Opgave 3A: se programmeret generel metode til partikulær løsning, når højresiden er et polynomium: poly2dif.pdf
Opgave 3D: definer funktionen f, så er det let at beregne f(cos(t)) osv.
Opgave 3E: brug et ligningssystem til at løse spørgsmålet.
Opgave 7: se den komplekse gættemetode med et komplekst c frem for a+i·b: c-gaet.pdf
Uge 12 SD Teori:
Sætning 17.2, metoderne 17.4 (overblik), 17.5 (komplekst konjugerede tilfælde) og 17.7 (dobbeltrod med gm < am).
eNote 17 omtaler faktisk kun 2 x 2 tilfældet. Man kan anvende de samme metoder på 3 x 3.

Maple-kommandoer:
dsolve(DiffLign): løser en differentialligning.
dsolve({DiffLign,Beting}): løser en differentialligning med betingelse.
Man kan godt indtaste differentialligningssystemet på vektor/matrix-form i dsolve! Se dsolve.pdf

Opgaver:
Opgave 1B: se en generel gennemgang af effektiv brug af Maple til såvel reel som kompleks løsning: u12sd1B.pdf (VIGTIG)
Opgave 1C: brug metode 17.7
Opgave 6B: svær og teoretisk!
Uge 11 SD Maple:
GramSchmidt([u1, ...,un],normalized) giver en liste af ortonormale vektorer, som udspænder det samme som u1, ...,un.
Matrix(%) omsætter listen fra GramSchmidt rutinen til en matrix (som ofte er en basisskiftematrix)!
A%T eller A^%T transponerer matricen A. Ligner 90% det vi skriver i matematik!

Maple-pakke VektorAnalyse4 (indeholder prik og kryds) kan hentes her: mat/maple/pakker/index.htm.
sqrt(prik(v,v)) giver længden af vektor v. prik kræver VektorAnalyse4-pakken. Driftsikker!
Norm(v,2) giver længden af vektor v. Kræver LinearAlgebra-pakken. Giver ofte et grimt resultat!
Normalize(v,2) giver en enhedsvektor i vektor v's retning. Kræver LinearAlgebra-pakken.
v/sqrt(prik(v,v)) giver en enhedsvektor i vektor v's retning. Kræver VektorAnalyse4-pakken.
kryds(v1,v2) eller v1 × v2 (NB: v1 &x v2 i "røde tekst") giver krydsproduktet af 2 vektorer (en vektor ortogonal på 2 andre vektorer).
kryds kræver VektorAnalyse4-pakken. &x kræver LinearAlgebra-pakken.

Opgaver:
Opgave 1: Projektion af vektor på vektor, se: https://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-b/vektorer-i-2d/projektion-af-vektor-pa-vektor
Opgave 2B: Om krydsprodukt, se: https://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-a/vektorer-i-3d/krydsprodukt
Opgave 8: GeoGebra-illustration af de 2 underrum: underrum.ggb (fra Søren Ladegaard Kristensen).
Opgave 9: Vedr. ortogonalt komplement, se side 11-12 i vekt-mat.pdf (Tip her: opskriv en matrix M med v1, v2 og v3 som rækker, og løs M·x=0. Svaret er en basis for U's komplement).
Uge 10 SD Teori:
I følge sætning 13.39, så gælder denne vigtige regel, som anvendes i opgaveregning: hvis am(λ)=1, så er også gm(λ)=1

Opgaver:
Opgave 1 og 4 med i alt 6 GeoGebra-filer er rigtig gode til at forstå begreberne egenværdi og egenvektor.
Opgave 5: Igen ser man her, at lineære ligningssystemer kan anvendes i et endeligt dimensionelt rum, hvor man skal løse en differentialligning.
Det kan være svært at sige noget klogt i e) om sammenligningen: hvorfor giver det samme løsning? Læs min udvidede udgave: u10sd5CDE.pdf
Opgave 6B: Matrix V som omtales er blot koordinatskiftematricen eMv.
Opgave 8: En teoretisk opgave! Udregn A·v2 på 2 måder, og få en modstrid.

Maple-kommandoer:
Eigenvectors(matrix, output=list) giver en liste, hvor hvert element er:
(1) egenværdi, (2) algebraisk multiplicitet "am", (3) basis for egenrummet. NB: antal vektorer i basis er geometrisk multiplicitet "gm".
Se side 6-8 i min oversigt vekt-mat.pdf vedr. egenværdier og egenvektorer samt sortering af disse i numerisk rækkefølge efter egenværdierne.
NullSpace(A-λ·IdentityMatrix(n)) giver en basis for egenrummet Eλ.
Uge 09 SD Videoer:
Se 3 gode YouTube-videoer om emnet: e-demoer.htm (den 2 sidste er glemt på dagsordenen!).

Teori (vigtige sætninger og metoder):
Definition 16.1, Struktursætningen & Superpositionsprincippet 16.7, Homogen løsning 16.9, Inhomogent gæt, Panserformlen 16.16, Eksistens & Entydighed 16.24.
NB: En lineær differentialligning, hvor x(t) skal bestemmes, skal være lineær i x. Der er ikke noget krav om linearitet i t!

Opgaver:
Opgave 1: Panserformlen trænes i 3 tilfælde.
Opgave 2: Her anvendes lineær afbildning på en differentialligning.
Opgave 4: Superpositionsprincippet anvendes, når højresiden kan opdeles i en sum af flere udtryk.
Opgave 6: Modelopgave.
Opgave 7: Vektorrumsteorien anvendes på en differentialligning, som her er kompleks. Se hvordan 7B løses effektivt med Maple: u09sd7B.pdf.
Opgave 8: Her blandes igen begreberne underrum og en afbildningsmatrix ind i en differentialligning. Se hvordan 8A løses effektivt med Maple: u09sd8A.pdf.
Opgave 9: Man kan bruge meget tid på disse 7 differentialligninger, hvoraf kun 3 er lineære.

Maple-kommandoer:
dsolve({DiffLign,Beting}) løser differentialligning "DiffLign" evt. med begyndelsesbetingelsen "Beting".
unapply definerer en funktion, når det er indviklet! f:=unapply(udtryk , t) giver en funktion f(t).
Uge 08 SD Teori (vigtige sætninger og metoder):
Lineær afbildning, kerne, billedrum, afbildningsmatrix.
Mange vigtige sætninger og metoder, f.eks. 12.17, 12.18, 12.23, 12.25, 12.26, 12.34.

Opgaver:
Opgave 3 og 4: Gode GeoGebra-filer til at forstå begreberne.
Opgave 5B: Del af en gammel eksamensopgave (som de studerende havde lidt svært ved, fordi afbildningsmatricen ikke er givet).
Opgave 6C: Se 4 forskellige måder at bestemme afbildningsmatricen for spejling i y=½·x u08sd6.pdf (Min metode 3a og 3b følger metoden i opgave 6).
Opgave 7: Supervigtig opgave med basisskifte! Kommer de 3 typer basisskifter igennem.
Opgave 8: Her arbejdes med polynomier i P2(R), så det er noget helt andet.

GeoGebra:
Se opsætning af hjælpen under Uge 02 SD nedenfor.

Maple-kommandoer:
NullSpace(A) fra LinearAlgebra-pakken beregner en basis for kernen for en lineær afbildning med afbildningsmatricen A. Kernen er så span af den fundne basis.
Uge 07 SD Videoer:
Se 3 gode YouTube-videoer om emnet: e-demoer.htm (de 2 sidste er glemt på dagsordenen!).

Maple-kommandoer:
Rank(M) beregner rangen af matricen M.
convert(M, Vector) ændrer en matrix M til en vektor (søjlevis).
interface(rtablesize=[n]) gør, at man kan se indholdet af matricer op til størrelse n x n.

Teori:
Metode 11.45 viser, hvordan man beregner de nye koordinater ved basisskifte. VIGTIG!

Opgaver:
Opgave 4bA: Svær! Se elegant løsning på u07sd4bA.pdf.
Opgave 5A: Husk at underrum altid skal indeholde nulvektoren. Et 1-dimensionelt underrrum er en ret linje, som går gennem origo. Et 2-dimensionelt underrum er et plan, som går gennem origo.
Opgave 5D og 5E kan udvides - god forståelsesopgave! Se u07sd5DE.pdf.
Opgave 6B: Se løsning på u07sd6B.pdf.
Opgave 8C: Umiddelbart kan man svare P1, P2 og Q1 som basis. Kan dog anvende monomie basis, som ser pænere ud!
Uge 06 LD Maple-demo og Maple-kommandoer:
Maple-demoen introducerer 2 subrutiner kaldet prik og kryds.
NB: Frem for at skulle inkludere de 2 linjer i enhver opgave, hvor prik og kryds anvendes, kan du smart installere Steens Maple-pakke kaldet VektorAnalyse4.
Download og se hvordan den installeres: pakker/index.htm
Hvorfor er disse 2 rutiner en god ide? prikkrys.pdf

Maple-kommandoer:
Punktum dvs. . [2D-math input] beregner skalarproduktet. Virker ikke i [Maple input]! Kun OK, når indgående vektorer er reelle.
&x [Maple input] fra LinearAlgebra-pakken beregner krydsproduktet.
x [2D-math input] fra Common Symbols paletten beregner krydsproduktet.
NB: læg x fra Common Symbols paletten ind i din Favorites palette.
Uge 06 SD Videoer:
Se 2 gode YouTube-videoer om emnet: e-demoer.htm (glemt på dagsordenen!).

Maple-demoer
Kør altid Maple-demoerne, så du lærer de nye Maple-kommandoer, som passer til det aktuelle pensum. Der er 2 Maple-demoer denne gang.

Maple-kommandoer:
Determinant beregner determinanten af en kvadratisk matrix.
A[2..4,1..3] giver lettere en delmatrix af A bestående af række 2 til 4 og søjle 1 til 3.
A[[1,3..4],[1..2,4]] giver lettere en delmatrix af A bestående af række 1 og 2 til 4 og søjle 1 til 2 samt 4.
DeleteRow(A,3) fjerner række 3 fra matrix A.
DeleteColumn(A,3) fjerner søjle 3 fra matrix A.

GeoGebra-demo:
NB: Hvis du viser algebra-vinduet i "ParameterFremstilling.ggb", så ser du, at u og v er ombyttet!

Opsætning af GeoGebra, så man får hjælp til knapperne (Windows):
Klik på tandhjulet øverst til højre. Vælg "layout". Sæt hak ved "Vis værktøjsbjælke hjælp".
NB: Ved en downloadet fil, hvor hjælpen ikke er aktiveret, er man nødt til at lave ændringen selv - uanset om man har det som default i opsætningen!
Uge 05 SD Videoer:
Se 2 gode YouTube-videoer om emnet: e-demoer.htm (glemt på dagsordenen!).

Maple-demoer
Kør altid Maple-demoerne, så du lærer de nye Maple-kommandoer, som passer til det aktuelle pensum. Der er 2 Maple-demoer denne gang.

Maple-kommandoer:
RowOperation kan anvendes til 3 forskellige typer rækkeoperationer:
RowOperation(T,[1,2]) ombytter række 1 og 2. RowOperation(T,2,3) ganger række 2 med 3. RowOperation(T,[1,2],3) ganger række 2 med 3 og lægger den til række 1.
ReducedRowEchelonForm giver en trappematrix.
LinearSolve(A,b) eller LinearSolve(T) bestemmer den fuldstændige løsning til det lineære ligningssystem.
NB: brug enten LinearSolve(A,b) eller LinearSolve(T), men aldrig LinearSolve(A)!
(Ellers antager Maple, at A er totalmatricen, så sidste søjle i A er højresiden b. Derfor bliver antal x'er faktisk 1 mindre!)
NB: A%T eller A^%T samt Transpose(A) vil transponere en matrix A (som jo skrives AT i matematik).
A-1 eller A^-1 giver den inverse matrix til matricen A.

Maple:
Prøv den smarte tutor til "Gauss-Jordan Elimination". Gå ind under menuen Tools, Tutors, Linear Algebra og vælg Gauss-Jordan Elimination.
Du kan se de enkelte steps, du kan selv afprøve de 3 typer rækkeoperationer, du kan indskrive din egen matrix og du kan få resultaterne ind i Maple-arket!

Opgaver:
Alle opgaver er relevante.
Opgave 1C kan volde problemer, hvis du ikke er god til at reducere brøker med komplekse tal! Løs så i stedet for opgaven med rækkeoperationer i Maple ("simuleret håndregning").
Opgave 5 er supervigtig af hensyn til hjemmeopgavesæt nr. 2, hvor der med garanti vil komme en opgave med en parameter a i koefficienterne! Start med Maple-demoen "Ligningssystemer".
Løs opgave 5 med "simuleret håndregning", dvs. i Maple ved brug af RowOperation. Undervejs er det fint at bruge simplify til at reducere udtryk i matrix.
Uge 04 SD Teori (vigtige sætninger og metoder):
Taylorpolynomiet, Taylors restfunktion, Taylors grænseformel.
Vurdering af fejlen, når Taylorpolynomiet anvendes. Hertil anvendes Taylors restfunktion.

Videoer:
De fremragende videoer viser som regel anvendelse af pensum, gerne i anden sammenhæng. De blev produceret for 12 år siden.

Maple-demoer
Kør altid Maple-demoerne, så du lærer de nye Maple-kommandoer, som passer til det aktuelle pensum.
Fra nu af vil der være 1-2 Maple-demoer hver gang.

Maple-opsætning:
Jeg kører med standard-opsætningen i Maple (dvs. Document-mode og 2D-math input).
Det giver lækkerste design og gør at jeg kan lave udregningerne kompakt.

Opgaver:
Opgave 1-4 og 6-7 er basis. Introducerer Taylor approksimation og brug af Maple. Sørg for at lære kommandoer til komplekse operationer.
Opgave 5 handler om vurdering af fejlen ved brug af Taylors restfunktion. Maple til udregninger, men tænke og vurdere!
Opgave 8 handler om brug af Taylors grænseformel til bestemmelse af ikke-trivielle grænseværdier.

Kommandoer i Maple:
F5 skifter mellem de 3 modes ("Text", Nnonexecutable Math" og "Math").
ENTER gør at Maple beregner udtrykket. Svaret kommer midt på næste linje.
SHIFT_ENTER gør at svaret står lige efter udtrykket med et lighedstegn imellem.
mtaylor(f(x),x=x0,n) giver Taylorpolynomiet til grad n-1. NB: Et polynomium af grad n-1 har n led!
limit(f(x),x=x0) giver grænseværdien af funktionen f i punktet x0.
unapply definerer en funktion. SKAL anvendes ved indviklede udtryk, hvor f(x):= osv. ikke virker! Se Maple-demo "02_Taylor".
Uge 03 SD Teori (vigtige sætninger og metoder):
Nedstigningssætningen (metode) står i eNote 2 side 4: hjælpesætning 2.6 samt eksempel 2.7 side 5. Det er en primitiv udgave af "polynomiums division"!
NB: Kun bruge nedstigningsmetoden, når man ved, at z0 er rod!!!
Binom ligning. 2. grads ligning (flere metoder afhængig af koefficienterne).
Konjugerede rødder i reelle polynomier. Rødder i relle polynomier af højere grad via faktorisering.

Opgaver:
I opgave 3E skal man ikke regne, men tænke sig om.
I opgave 4 skal man ikke regne, men anvende teorien.
I opgave 5A skal nedstigningsmetoden (side 4 og 5 i eNote 2) bare læres! I opgave 5B skal man få en god ide!
I opgave 5C: hvordan viser man at 2 er dobbeltrod, og ikke bare enkeltrod?
Opgave 6 er ren teoretisk.
I opgave 8 anvendes metoden i eksempel eNote 2.23, side 14-15.
Opgave 9ABC er en eksamensopgave fra 2007. 9C er svær! - prøv først at løse, når c=10.
Opgave 9D er en generalisering af 9C!!

Kommandoer i Maple:
solve(P(z)=0,z) f.eks. opgave 8B hvor solve(z^2 - (1 + 2*I)*z - 3/2 + 2*I = 0, z) giver 3/2 + I/2, -1/2 + 3*I/2.
RealDomain[solve](...) gør at at man kun får reelle løsninger, f.eks. i eksempel 2.23, hvor man skal finde x og y.
Uge 02 SD Opgaver:
Opgave 6 er vigtig (og man skal tænke sig godt om). Man kan forvente noget lignende i hjemmeopgavesæt 1.

Relevante WikiPedia-links:
  • Eksakte værdier af sin, cos, tan for visse radiantal
  • Eksakte værdier (markeret på enhedscirkel)
  • Trigonometriske formler for dobbelte vinkler
  • Trigonometriske formler for halve vinkler
  • Eulers formel

    Opsætning af GeoGebra, så man får hjælp til knapperne (Windows):
    Klik på tandhjulet øverst til højre. Vælg "layout". Sæt hak ved "Vis værktøjsbjælke hjælp".
    Gå ind i menuen "Indstillinger". Tryk på "Gem indstillinger".
    NB: Desværre gælder den ændring kun for filer, du selv laver forfra. Ved en downloadet fil kan man blive nødt til at lave ændringen selv!

    Kommandoer i Maple - står her nu selv om vi først rigtigt anvender Maple senere:
    I: den imaginære enhed (I, ikke i)!
    abs(z) eller |z|: numerisk værdi af z = modulus af z = afstand fra origo til z.
    argument(z): hovedargumentet af z.
    conjugate(z) eller z: den konjugerede af z.
    polar(z): polære koordinater for z.
    evalc(z): rektangulære form for z.
  • Uge 01 SD Opgaver:
    Opgave 6: "Realkriteriet" er misvisende overskrift. Bruges ikke i besvarelsen.
    Opgave 7: "Rationale tals størrelse (advanced)", er slet ikke avanceret, men simpel!