Metode 18.1, sætning 18.2, inhomogen metode 18.6/18.9/18.11/18/13, superpositionsprincippet sætning 18.15, den komplekse gættemetode 18.18, eksistens og entydighed sætning 18.20.
Maple:
En partikulær løsning, når højresiden rummer sin og cos: sin-cos.pdf
Den komplekse gættemetode med et komplekst c frem for a+i·b: c-gaet.pdf
Programmeret generel metode til partikulær løsning, når højresiden er et polynomium: poly2dif.pdf
Opgaver:
Opgave 1A med Maple (effektivt): u13sd1A.pdf
Opgave 3A: se programmeret generel metode til partikulær løsning, når højresiden er et polynomium: poly2dif.pdf
Opgave 3D: definer funktionen f, så er det let at beregne f(cos(t)) osv.
Opgave 3E: brug et ligningssystem til at løse spørgsmålet.
Opgave 7: se den komplekse gættemetode med et komplekst c frem for a+i·b: c-gaet.pdf
Sætning 17.2, metoderne 17.4 (overblik), 17.5 (komplekst konjugerede tilfælde) og 17.7 (dobbeltrod med gm < am).
eNote 17 omtaler faktisk kun 2 x 2 tilfældet. Man kan anvende de samme metoder på 3 x 3.
Maple-kommandoer:
dsolve(DiffLign): løser en differentialligning.
dsolve({DiffLign,Beting}): løser en differentialligning med betingelse.
Man kan godt indtaste differentialligningssystemet på vektor/matrix-form i dsolve! Se dsolve.pdf
Opgaver:
Opgave 1B: se en generel gennemgang af effektiv brug af Maple til såvel reel som kompleks løsning: u12sd1B.pdf (VIGTIG)
Opgave 1C: brug metode 17.7
Opgave 6B: svær og teoretisk!
GramSchmidt([u1, ...,un],normalized) giver en liste af ortonormale vektorer, som udspænder det samme som u1, ...,un.
Matrix(%) omsætter listen fra GramSchmidt rutinen til en matrix (som ofte er en basisskiftematrix)!
A%T eller A^%T transponerer matricen A. Ligner 90% det vi skriver i matematik!
Maple-pakke VektorAnalyse4 (indeholder prik og kryds) kan hentes her: mat/maple/pakker/index.htm.
sqrt(prik(v,v)) giver længden af vektor v. prik kræver VektorAnalyse4-pakken. Driftsikker!
Norm(v,2) giver længden af vektor v. Kræver LinearAlgebra-pakken. Giver ofte et grimt resultat!
Normalize(v,2) giver en enhedsvektor i vektor v's retning. Kræver LinearAlgebra-pakken.
v/sqrt(prik(v,v)) giver en enhedsvektor i vektor v's retning. Kræver VektorAnalyse4-pakken.
kryds(v1,v2) eller v1 × v2 (NB: v1 &x v2 i "røde tekst") giver krydsproduktet af 2 vektorer (en vektor ortogonal på 2 andre vektorer).
kryds kræver VektorAnalyse4-pakken. &x kræver LinearAlgebra-pakken.
Opgaver:
Opgave 1: Projektion af vektor på vektor, se: https://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-b/vektorer-i-2d/projektion-af-vektor-pa-vektor
Opgave 2B: Om krydsprodukt, se: https://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-a/vektorer-i-3d/krydsprodukt
Opgave 8: GeoGebra-illustration af de 2 underrum: underrum.ggb (fra Søren Ladegaard Kristensen).
Opgave 9: Vedr. ortogonalt komplement, se side 11-12 i vekt-mat.pdf (Tip her: opskriv en matrix M med v1, v2 og v3 som rækker, og løs M·x=0. Svaret er en basis for U's komplement).
I følge sætning 13.39, så gælder denne vigtige regel, som anvendes i opgaveregning: hvis am(λ)=1, så er også gm(λ)=1
Opgaver:
Opgave 1 og 4 med i alt 6 GeoGebra-filer er rigtig gode til at forstå begreberne egenværdi og egenvektor.
Opgave 5: Igen ser man her, at lineære ligningssystemer kan anvendes i et endeligt dimensionelt rum, hvor man skal løse en differentialligning.
Det kan være svært at sige noget klogt i e) om sammenligningen: hvorfor giver det samme løsning? Læs min udvidede udgave: u10sd5CDE.pdf
Opgave 6B: Matrix V som omtales er blot koordinatskiftematricen eMv.
Opgave 8: En teoretisk opgave! Udregn A·v2 på 2 måder, og få en modstrid.
Maple-kommandoer:
Eigenvectors(matrix, output=list) giver en liste, hvor hvert element er:
(1) egenværdi, (2) algebraisk multiplicitet "am", (3) basis for egenrummet. NB: antal vektorer i basis er geometrisk multiplicitet "gm".
Se side 6-8 i min oversigt vekt-mat.pdf vedr. egenværdier og egenvektorer samt sortering af disse i numerisk rækkefølge efter egenværdierne.
NullSpace(A-λ·IdentityMatrix(n)) giver en basis for egenrummet Eλ.
Se 3 gode YouTube-videoer om emnet: e-demoer.htm (den 2 sidste er glemt på dagsordenen!).
Teori (vigtige sætninger og metoder):
Definition 16.1, Struktursætningen & Superpositionsprincippet 16.7, Homogen løsning 16.9, Inhomogent gæt, Panserformlen 16.16, Eksistens & Entydighed 16.24.
NB: En lineær differentialligning, hvor x(t) skal bestemmes, skal være lineær i x. Der er ikke noget krav om linearitet i t!
Opgaver:
Opgave 1: Panserformlen trænes i 3 tilfælde.
Opgave 2: Her anvendes lineær afbildning på en differentialligning.
Opgave 4: Superpositionsprincippet anvendes, når højresiden kan opdeles i en sum af flere udtryk.
Opgave 6: Modelopgave.
Opgave 7: Vektorrumsteorien anvendes på en differentialligning, som her er kompleks. Se hvordan 7B løses effektivt med Maple: u09sd7B.pdf.
Opgave 8: Her blandes igen begreberne underrum og en afbildningsmatrix ind i en differentialligning. Se hvordan 8A løses effektivt med Maple: u09sd8A.pdf.
Opgave 9: Man kan bruge meget tid på disse 7 differentialligninger, hvoraf kun 3 er lineære.
Maple-kommandoer:
dsolve({DiffLign,Beting}) løser differentialligning "DiffLign" evt. med begyndelsesbetingelsen "Beting".
unapply definerer en funktion, når det er indviklet! f:=unapply(udtryk , t) giver en funktion f(t).
Lineær afbildning, kerne, billedrum, afbildningsmatrix.
Mange vigtige sætninger og metoder, f.eks. 12.17, 12.18, 12.23, 12.25, 12.26, 12.34.
Opgaver:
Opgave 3 og 4: Gode GeoGebra-filer til at forstå begreberne.
Opgave 5B: Del af en gammel eksamensopgave (som de studerende havde lidt svært ved, fordi afbildningsmatricen ikke er givet).
Opgave 6C: Se 4 forskellige måder at bestemme afbildningsmatricen for spejling i y=½·x u08sd6.pdf (Min metode 3a og 3b følger metoden i opgave 6).
Opgave 7: Supervigtig opgave med basisskifte! Kommer de 3 typer basisskifter igennem.
Opgave 8: Her arbejdes med polynomier i P2(R), så det er noget helt andet.
GeoGebra:
Se opsætning af hjælpen under Uge 02 SD nedenfor.
Maple-kommandoer:
NullSpace(A) fra LinearAlgebra-pakken beregner en basis for kernen for en lineær afbildning med afbildningsmatricen A. Kernen er så span af den fundne basis.
Se 3 gode YouTube-videoer om emnet: e-demoer.htm (de 2 sidste er glemt på dagsordenen!).
Maple-kommandoer:
Rank(M) beregner rangen af matricen M.
convert(M, Vector) ændrer en matrix M til en vektor (søjlevis).
interface(rtablesize=[n]) gør, at man kan se indholdet af matricer op til størrelse n x n.
Teori:
Metode 11.45 viser, hvordan man beregner de nye koordinater ved basisskifte. VIGTIG!
Opgaver:
Opgave 4bA: Svær! Se elegant løsning på u07sd4bA.pdf.
Opgave 5A: Husk at underrum altid skal indeholde nulvektoren. Et 1-dimensionelt underrrum er en ret linje, som går gennem origo. Et 2-dimensionelt underrum er et plan, som går gennem origo.
Opgave 5D og 5E kan udvides - god forståelsesopgave! Se u07sd5DE.pdf.
Opgave 6B: Se løsning på u07sd6B.pdf.
Opgave 8C: Umiddelbart kan man svare P1, P2 og Q1 som basis. Kan dog anvende monomie basis, som ser pænere ud!
Maple-demoen introducerer 2 subrutiner kaldet prik og kryds.
NB: Frem for at skulle inkludere de 2 linjer i enhver opgave, hvor prik og kryds anvendes, kan du smart installere Steens Maple-pakke kaldet VektorAnalyse4.
Download og se hvordan den installeres: pakker/index.htm
Hvorfor er disse 2 rutiner en god ide? prikkrys.pdf
Maple-kommandoer:
Punktum dvs. . [2D-math input] beregner skalarproduktet. Virker ikke i [Maple input]! Kun OK, når indgående vektorer er reelle.
&x [Maple input] fra LinearAlgebra-pakken beregner krydsproduktet.
x [2D-math input] fra Common Symbols paletten beregner krydsproduktet.
NB: læg x fra Common Symbols paletten ind i din Favorites palette.
Se 2 gode YouTube-videoer om emnet: e-demoer.htm (glemt på dagsordenen!).
Maple-demoer
Kør altid Maple-demoerne, så du lærer de nye Maple-kommandoer, som passer til det aktuelle pensum. Der er 2 Maple-demoer denne gang.
Maple-kommandoer:
Determinant beregner determinanten af en kvadratisk matrix.
A[2..4,1..3] giver lettere en delmatrix af A bestående af række 2 til 4 og søjle 1 til 3.
A[[1,3..4],[1..2,4]] giver lettere en delmatrix af A bestående af række 1 og 2 til 4 og søjle 1 til 2 samt 4.
DeleteRow(A,3) fjerner række 3 fra matrix A.
DeleteColumn(A,3) fjerner søjle 3 fra matrix A.
GeoGebra-demo:
NB: Hvis du viser algebra-vinduet i "ParameterFremstilling.ggb", så ser du, at u og v er ombyttet!
Opsætning af GeoGebra, så man får hjælp til knapperne (Windows):
Klik på tandhjulet øverst til højre. Vælg "layout". Sæt hak ved "Vis værktøjsbjælke hjælp".
NB: Ved en downloadet fil, hvor hjælpen ikke er aktiveret, er man nødt til at lave ændringen selv - uanset om man har det som default i opsætningen!
Se 2 gode YouTube-videoer om emnet: e-demoer.htm (glemt på dagsordenen!).
Maple-demoer
Kør altid Maple-demoerne, så du lærer de nye Maple-kommandoer, som passer til det aktuelle pensum. Der er 2 Maple-demoer denne gang.
Maple-kommandoer:
RowOperation kan anvendes til 3 forskellige typer rækkeoperationer:
RowOperation(T,[1,2]) ombytter række 1 og 2. RowOperation(T,2,3) ganger række 2 med 3. RowOperation(T,[1,2],3) ganger række 2 med 3 og lægger den til række 1.
ReducedRowEchelonForm giver en trappematrix.
LinearSolve(A,b) eller LinearSolve(T) bestemmer den fuldstændige løsning til det lineære ligningssystem.
NB: brug enten LinearSolve(A,b) eller LinearSolve(T), men aldrig LinearSolve(A)!
(Ellers antager Maple, at A er totalmatricen, så sidste søjle i A er højresiden b. Derfor bliver antal x'er faktisk 1 mindre!)
NB: A%T eller A^%T samt Transpose(A) vil transponere en matrix A (som jo skrives AT i matematik).
A-1 eller A^-1 giver den inverse matrix til matricen A.
Maple:
Prøv den smarte tutor til "Gauss-Jordan Elimination". Gå ind under menuen Tools, Tutors, Linear Algebra og vælg Gauss-Jordan Elimination.
Du kan se de enkelte steps, du kan selv afprøve de 3 typer rækkeoperationer, du kan indskrive din egen matrix og du kan få resultaterne ind i Maple-arket!
Opgaver:
Alle opgaver er relevante.
Opgave 1C kan volde problemer, hvis du ikke er god til at reducere brøker med komplekse tal! Løs så i stedet for opgaven med rækkeoperationer i Maple ("simuleret håndregning").
Opgave 5 er supervigtig af hensyn til hjemmeopgavesæt nr. 2, hvor der med garanti vil komme en opgave med en parameter a i koefficienterne! Start med Maple-demoen "Ligningssystemer".
Løs opgave 5 med "simuleret håndregning", dvs. i Maple ved brug af RowOperation. Undervejs er det fint at bruge simplify til at reducere udtryk i matrix.
Taylorpolynomiet, Taylors restfunktion, Taylors grænseformel.
Vurdering af fejlen, når Taylorpolynomiet anvendes. Hertil anvendes Taylors restfunktion.
Videoer:
De fremragende videoer viser som regel anvendelse af pensum, gerne i anden sammenhæng. De blev produceret for 12 år siden.
Maple-demoer
Kør altid Maple-demoerne, så du lærer de nye Maple-kommandoer, som passer til det aktuelle pensum.
Fra nu af vil der være 1-2 Maple-demoer hver gang.
Maple-opsætning:
Jeg kører med standard-opsætningen i Maple (dvs. Document-mode og 2D-math input).
Det giver lækkerste design og gør at jeg kan lave udregningerne kompakt.
Opgaver:
Opgave 1-4 og 6-7 er basis. Introducerer Taylor approksimation og brug af Maple. Sørg for at lære kommandoer til komplekse operationer.
Opgave 5 handler om vurdering af fejlen ved brug af Taylors restfunktion. Maple til udregninger, men tænke og vurdere!
Opgave 8 handler om brug af Taylors grænseformel til bestemmelse af ikke-trivielle grænseværdier.
Kommandoer i Maple:
F5 skifter mellem de 3 modes ("Text", Nnonexecutable Math" og "Math").
ENTER gør at Maple beregner udtrykket. Svaret kommer midt på næste linje.
SHIFT_ENTER gør at svaret står lige efter udtrykket med et lighedstegn imellem.
mtaylor(f(x),x=x0,n) giver Taylorpolynomiet til grad n-1. NB: Et polynomium af grad n-1 har n led!
limit(f(x),x=x0) giver grænseværdien af funktionen f i punktet x0.
unapply definerer en funktion. SKAL anvendes ved indviklede udtryk, hvor f(x):= osv. ikke virker! Se Maple-demo "02_Taylor".
Nedstigningssætningen (metode) står i eNote 2 side 4: hjælpesætning 2.6 samt eksempel 2.7 side 5. Det er en primitiv udgave af "polynomiums division"!
NB: Kun bruge nedstigningsmetoden, når man ved, at z0 er rod!!!
Binom ligning. 2. grads ligning (flere metoder afhængig af koefficienterne).
Konjugerede rødder i reelle polynomier. Rødder i relle polynomier af højere grad via faktorisering.
Opgaver:
I opgave 3E skal man ikke regne, men tænke sig om.
I opgave 4 skal man ikke regne, men anvende teorien.
I opgave 5A skal nedstigningsmetoden (side 4 og 5 i eNote 2) bare læres! I opgave 5B skal man få en god ide!
I opgave 5C: hvordan viser man at 2 er dobbeltrod, og ikke bare enkeltrod?
Opgave 6 er ren teoretisk.
I opgave 8 anvendes metoden i eksempel eNote 2.23, side 14-15.
Opgave 9ABC er en eksamensopgave fra 2007. 9C er svær! - prøv først at løse, når c=10.
Opgave 9D er en generalisering af 9C!!
Kommandoer i Maple:
solve(P(z)=0,z) f.eks. opgave 8B hvor solve(z^2 - (1 + 2*I)*z - 3/2 + 2*I = 0, z) giver 3/2 + I/2, -1/2 + 3*I/2.
RealDomain[solve](...) gør at at man kun får reelle løsninger, f.eks. i eksempel 2.23, hvor man skal finde x og y.
Opgave 6 er vigtig (og man skal tænke sig godt om). Man kan forvente noget lignende i hjemmeopgavesæt 1.
Relevante WikiPedia-links:
Eksakte værdier af sin, cos, tan for visse radiantal
Eksakte værdier (markeret på enhedscirkel)
Trigonometriske formler for dobbelte vinkler
Trigonometriske formler for halve vinkler
Eulers formelOpsætning af GeoGebra, så man får hjælp til knapperne (Windows):
Klik på tandhjulet øverst til højre. Vælg "layout". Sæt hak ved "Vis værktøjsbjælke hjælp".
Gå ind i menuen "Indstillinger". Tryk på "Gem indstillinger".
NB: Desværre gælder den ændring kun for filer, du selv laver forfra. Ved en downloadet fil kan man blive nødt til at lave ændringen selv!
Kommandoer i Maple - står her nu selv om vi først rigtigt anvender Maple senere:
I: den imaginære enhed (I, ikke i)!
abs(z) eller |z|: numerisk værdi af z = modulus af z = afstand fra origo til z.
argument(z): hovedargumentet af z.
conjugate(z) eller z: den konjugerede af z.
polar(z): polære koordinater for z.
evalc(z): rektangulære form for z.
Opgave 6: "Realkriteriet" er misvisende overskrift. Bruges ikke i besvarelsen.
Opgave 7: "Rationale tals størrelse (advanced)", er slet ikke avanceret, men simpel!