Læs nærmere om Stokes sætning, højrekonventionen, stamvektorfelt, Maple beregning og brug af Integrator8: stokes.pdf
Læs om praktisk eksempel på højrekonventionen og Stokes sætning: gausstok.pdf
Tegning af en skare af tangentvektorer på en kurve i rummet: tangent.pdf
Tegning af en skare af normalvektorer til en flade i rummet: normal.pdf
Opgaver:
Opgave 1: hvis du har valgt en anden omløbsretning, som dog overholder højrekonventionen, så vil dit facit have modsat fortegn!
Opgave 2A: parametrisering af en trekant: trekant.pdf
Opgave 2C: hvis du får modsat facit af svaret, er det blot fordi du har modsat orientering - der er jo 2 mulige omløbsretninger!
Opgave 3B: du vil nok ikke selv komme med parametriseringen af F2, som er angivet i svaret.
For parametrisering af kugleskal se: paramet.pdf
NB: du skal kun bruge en halvkugle, så ret parameterområdet!
Opgave 3C: hvis du får modsat facit af svaret, er det blot fordi du har modsat orientering - der er jo 2 muligheder!
Opgave 3D: ?? - med Maple er det hip som hap om man finder et kurveintegral eller en fladeintegral (flux).
Opgave 4: hvis du får modsat facit af svaret, er det blot fordi du har modsat orientering - der er jo 2 muligheder!
Opgave 5A: måske skal du bruge, at a>0, så du kan reducere din parametrisering.
Opgave 5B: hvis du får modsat facit af svaret, er det blot fordi du har modsat orientering - der er jo 2 mulige omløbsretninger!
Opgave 6: overvej hvordan resultaterne i A influerer på svarene i B?
Opgave 7B: svaret kan beregnes både som flux af U gennem F, og som kurveintegral af Ustjerne langs randen af F
Se opgave 6, hvor man bestemte, at U er et stamvektorfelt, og man beregnede Ustjerne
Opgave 7C: ?? - med Maple er det hip som hap om man finder det ene eller det andet.
Karstens "div" og "rot" ligger i Steens Maple-pakke VektorAnalyse4.
Læs nærmere om div og rot: div-rot.pdf
Hvis du vil tjekke facit med en rutine fra Integrator8-pakken, så se kort dokumentation: int8_kom.pdf
Tegning af en skare af tangentvektorer på en kurve i rummet: tangent.pdf
Tegning af en skare af normalvektorer til en flade i rummet: normal.pdf
NB: Tegning af tangentvektorer og normalvektorer anvender Steens Maple-pakke plot2D3D2.
Opgaver:
Opgave 1 C: brug Maple til beregningen!
Opgave 2 A: en flowkurve bestemmes ved at løse et differentialligningssystem. Se eNote 26, nærmere definition 26.11. Hertil anvendes Mapels dsolve.
Opgave 2 E: kan tjekke facit med fluxIntGo(r,INTERVALLER,V) fra Integrator8-pakken.
Opgave 3 E: brug rotationsmatricen om z-aksen til elegant at frembringe nye parametriseringer og normalvektorer! Så er det let at lave de nye parametriseringer.
Opgave 6: læs nærmere om Coulombs lov og fysik: coulomb.pdf
NB: Gauss sætning forudsætter, at vektorfeltet er defineret overalt i den rumlige mængde! Så ingen singulariteter, hvis Gauss sætning skal kunne bruges.
Karstens "div" og "rot" ligger i Steens Maple-pakke VektorAnalyse4.
Karstens "grad" ligger i Steens Maple-pakke VektorAnalyse4.
OBS: til bestemmelse af det tangentielle kurveintegral anvendes ikke en Jacobi-funktion!
I dag anvendes "tangKurveIntGo" fra Integrator8-pakken (rutine med "Go" til sidst giver facit uden mellemregninger).
Formel for det tangentielle kurveintegral (ikke at forveksle med det almindelige kurveintegral, som beregner kurvelængde): integral.pdf
Beregning af det tangentielle kurveintegral samt tegning af kurve og vektorfelt: tangint.pdf
En flowkurve kan bestemmes enten direkte med "dsolve" eller vha. egenværdier og egenvektorer i systemmatricen.
Opgaver:
Opgave 1: gradientfelt kan tegnes i 2D med "fieldplot".
Opgave 2: gradientfelt kan tegnes i 3D med "fieldplot3d".
Hvis 2B løses via systemmatrix, så får man ikke et facit, som ligner "Answer". Brug så "evalc" på dit svar for r(u).
NB: Svaret i opgave 2E og 2F er det 'samme': i 2E hedder parametriseringen r(u), mens den i 2F hedder r(u,v). Men med samme indhold!
Opgave 3B: parametrisering af en ellipsoide-skal: paramet.pdf
Opgave 3D: man kan tjekke om 2 vektorer i 3D er parallelle på 2 måder. Enten vise, at krydsproduktet af gradientvektoren og normalvektoren er nulvektor,
eller vise at skalarproduktet af hver af de partielle afledede af parametriseringen med gradienten er 0.
Årsagen til sidste metode er, at normalvektoren beregnes som krydsproduktet af de 2 partielle afledede af parametriseringen!
Se 1 "glemt" video! f-demoer.htm
Maple & teori:
I dag anvendes "rumIntGo" fra Integrator8-pakken (rutine med "Go" til sidst giver facit uden mellemregninger).
Plotning af 3D-område i rummet er svært. Steen har lavet en Maple-pakke "plot2D3D2", som kan anvendes. Hentes på: pakker/index.htm
Anvendelsen af pakken "plot2D3D2": plot3d.pdf
NB: Jacobi kan blive et kompliceret udtryk. Prøv at reducere med to greb: a) "simplify" og b) "assuming".
Jacobi for et 3D-område i R3 beregnes som den numeriske værdi af determinanten af Jacobi-matricen: jacobi.pdf
Beregning af volumen af et 3D-område i rummet og massen af området og plotning af området i R3: rumint.pdf
Omdrejningsflade via rotationsmatrix: omdrej.pdf
Parametrisering af en trekant: trekant.pdf
Opgaver:
I dagens opgaver kan man med fordel indlæse en masse Maple-pakker fra starten. Også rotationsmatricen om z-aksen. Se hvilke: startmw.png
Opgave 3C: Jacobi ser umiddelbart vild ud. Prøv at reducere med Jacobi := simplify(Jacobi) assuming 0 <= V, V <= PI, 0 <= U, U <= 2*PI
Opgave 3E: Jacobi ser umiddelbart vild ud. Prøv at reducere med Jacobi := simplify(Jacobi) assuming u, real
Opgave 4A: ikke smart, at x2-y kan blive negativ, så giver udtrykket ikke mening som beregning af massen. Integralet bliver <0!
Opgave 5A: brug Steens generelle formel for en trekant: trekant.pdf (afsnit 2).
Opgave 6B: her er pludselig tale om et fladeintegral (se sidste uge).
Se 1 "glemt" video! f-demoer.htm
Maple & teori:
I dag anvendes "planIntGo" og "fladeIntGo" fra Integrator8-pakken (rutine med "Go" til sidst giver facit uden mellemregninger).
Oversigt over kommandoer i Integrator8-pakken: int8-kom.pdf
Plotning af 2D-område i planen er svært. Steen har lavet en Maple-pakke "plot2D3D2", som kan anvendes. Hentes på: pakker/index.htm
Anvendelsen af pakken "plot2D3D2": plot2d.pdf
NB: Jacobi kan blive et kompliceret udtryk. Prøv at reducere med to greb: a) "simplify(...)" evt. "simplify(...,symbolic)", b) "assuming ...".
Jacobi for et plant område i R2 beregnes som determinanten af Jacobi-matricen: jacobi.pdf
Beregning af areal 2D-område i planen, massen og massemidtpunktet af området og plotning af området i R2: planint.pdf
Jacobi for en flade i R3 beregnes som længden af krydsproduktet af de partielle afledede: jacobi.pdf
Beregning af areal af en flade i rummet, massen af fladen og plotning af fladen i R3: fladeint.pdf
Omdrejningsflade laves smart via rotationsmatrix: omdrej.pdf
Opgaver:
Opgave 1: integration ved substitution: https://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-a/infinitesimalregning/integration-ved-substitution
Opgave 3: hvis man anvender i Maple frem for håndregning, så brug "assuming a>0" efter integralet.
Opgave 4D: urealistisk at finde stamfunktionen ved håndregning - brug Maple!
De 2 mulige facits i "answer" fremkommer ved omskrivningen af "arcsinh(x)" til "ln":
https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_hyperbolic_functions#Inverse_hyperbolic_sine
Se 1 "glemt" video! f-demoer.htm
Om tilnærmelse af integrale med summer: summer.pdf
Maple
Maple-pakken Integrator8 hentes og installeres lettest på: pakker/index.htm (nederste af de 4 pakker)
I dag anvendes "kurveIntGo" (rutine med "Go" til sidst giver facit uden mellemregninger).
Jacobi for et kurve i R2 eller R3 beregnes som længden af differentialkvotienten: jacobi.pdf
Beregning af kurvelængde, masse af kurve og plotning af kurve i R2 og R3: kurveint.pdf
Opgaver:
Opgave 8: teoretisk.
Opgave 9: teoretisk og svær. Hvis facit skal stemme, så kig på omskrivningen af "arcsinh(x)" med brug af "ln":
https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_hyperbolic_functions#Inverse_hyperbolic_sine
Se 1 "glemt" video! f-demoer.htm
Se sætning om globalt ekstremum og 3 eksempler på lokale ekstremaer (som er utrolige!): f-system.htm
Maple
VectorCalculus[Hessian](f(x,y),[x,y]) beregner Hesse-matricen.
Skal man bestemme mange Hesse-matricer og de tilhørende egenværdier, så se hvor kort det kan gøres (antag at H er defineret som en funktion):
L:=[H(0,0),H(2,0),H(0,2),H(2,2)] genererer en liste med 4 Hessematricer.
Eigenvalues~(L) genrerer en liste med egenværdierne. NB tilde (~) er nødvendig for at operere på alle elementer i lisen L!
Se nærmere: hesse.pdf
Opgaver:
Opgave 3: flader givet ved en kvadratisk form: Quadric#Euclidean_space
Opgave 4A: hvis du håndregner, så subtraher de 2 partielle afledede og faktoriser udtrykket (som er 0). Brug så nulreglen. Så kan y udtrykkes ved x osv.
Opgave 5A: når randen undersøges og man skal finde stationære punkter der, så pas på at få ALLE relevante løsninger med!
Brug f.eks. solve({g'(t)=0,t>=0,t<=2*Pi},t,AllSolutions)
Opgave 6B: på randen skal man IKKE anvende en parametrisering, men blot reducere f på randen!
Opgave 7A: når du har løst de stationære punkter med "solve" er det svært at finde ud af, hvad det konkret betyder.
Anvend så map(allvalues,%), så får du at vide, hvad løsningerne faktisk hedder. Brug kun de reelle løsninger!
Opgave 7C: lad evt. x --> ∞ mens y = 0. Bestem grænseværdien med limit.
Se 2 "glemte" videoer! f-demoer.htm
Maple:
Hesse-matricen og Jacobi-matricen kan let beregnes: hesse.pdf
Omskrivning af en kvadratisk form: kvadform.pdf
WikiPedia:
Keglesnit: Conic_section
Flade givet ved en kvadratisk form (gode figurer): Quadric#Euclidean_space
mtaylor beregner Taylorpolynomiet (husk at angive n+1, hvis der ønskes n'te grad).
VectorCalculus[Hessian](f(x,y),[x,y]) beregner Hesse-matricen.
Opgaver:
Opgave 2: "håndregningen" er kun til 2A og 2B. 2C må regnes i Maple!
Opgave 4C: vis blot direkte, at f har et stationært punkt i origo.
NB: tangentplan har ligningen: https://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-a/funktioner-af-to-variable/tangentplan
Opgave 5A: brug blot Gram-Schmidts metode (det er jo let i Maple!). Format er (med 3 vektorer): LinearAlgebra[GramSchmidt]({w1, w2, w3}, normalized)
Opgave 5: se omskrivning af en kvadratisk form: kvadform.pdf
Definitionsmængden kan ofte tegnes let med inequal fra plots-pakken.
Eks: i Maple-Demoen "F02a_GrafTangentplan.mw" kan definitionsmængden plottes så let: def-mgd.pdf
Forskellen på D og diff i Maple samt matematisk notation hhv. Maple-notation: partdiff.pdf
D giver en "function", diff en "expression"! Brug af D hhv. diff: d-diff.pdf
"Tilde" (~) anvendes til at differentiere alle elementer i en struktur: tilde.pdf. NB: ~ er overflødig i Maple2022 ved diff.
Differentiationsrækkefølge kan være vigtig: diff-seq.pdf
Betydningen af differentiabilitet for vektorfunktion: vekt-fkt.pdf
Frem for at skulle inkludere ekstralinjers initialisering i hver opgave, hvor prik, kryds eller vop anvendes, kan du smart installere Steens Maple-pakke kaldet VektorAnalyse4.
Download og se hvordan pakken installeres: pakker/index.htm
Hvorfor anvendes prik og kryds: prikkrys.pdf
vop gør at man let kan sammensætte en funktion og en vektorfunktion. F.eks. f(vop(r(u,v)))
Opgaver:
Opgave 2A: eNote 19 anvendes x-x0 notation, mens hints anvender Δx notation! NB: Δx = x-x0.
Opgave 5B: Har du glemt hvad (arctan)' er? Så brug WikiPedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Differentiation_of_trigonometric_functions
Opgave 6B: Hint nr. 2 med rand og stationært punkt omtales først i eNote 21! Kig i stedet for på funktionesudtrykket og definitionsmængden, så er det let at finde maksimum.
Opgave 6E: Den rette linje kan tegnes med spacecurve(r(t),t=0..2, color=red, thickness=3), hvor r(t):=<0,-2,0>+t·<1,1,4> er vektorfunktionen for den rette linje.
NB: At gradienten viser retningen, hvor funktionen vokser hurtigt, er en lokal egenskab!