| Eksamen d. 8/12-2024 |
Gode råd om eksamen: goderaad.pdf  Samlede noter (274 sider): noterE24.pdf Find eksamenslokalet og tidspunkt på https://eksamensplan.dtu.dk/Course Placeringen "127/119, Campus Lyngby" betyder bygning 127 lokale 119. Søg bygning i Google Maps ("DTU bygning 127"): https://maps.app.goo.gl/meZnK1SM3CkmA4rj6 Søg bygning og lokale i MazeMap på "127/119" (VÆLG RIGTIGT, pas på ombytning!): https://use.mazemap.com/#v=1&campusid=89 |
| Python/SymPy |
Praktisk anvendelse af Python/SymPy i VSCode til eksamen del 2, hvor programmet må anvendes. Små fiduser: fiduser.pdf eller fiduser.ipynb  Komplekse tal: kompleks.pdf eller kompleks.ipynb Polynomier: polynom.pdf eller polynom.ipynb Funktioner og differentiation: funktion.pdf eller funktion.ipynb Matrixregning: matrix.pdf eller matrix.ipynb Matricer som vektorer: vektmatr.pdf eller vektmatr.ipynb Ligningssystem: lignsyst.pdf eller lignsyst.ipynb Differentialligninger: difflign.pdf eller difflign.ipynb |
| Uge 13 LD |
Opgavesæt: Der regnes eksamensættet fra reeksamen i maj 2024: https://01001.compute.dtu.dk/Eksamensopgaver/eksamensopgaver.html Steens løsninger på del 1 og del 2: eksmat1a.htm |
| Uge 13 SD |
Python/SymPy: NB: "_" (1 underscore) er sidste svar, "__" (2 underscore) er 2. sidste svar, "___" (3 underscore) er 3. sidste svar! Ufatteligt effektivt! "difflign.subs(y(t),udtryk)" indsætter et udtryk i stedet for y(t) i løsningen af en differentialligningen difflign. Smart når man skal indsætte et udtryk for at bestemme en partikulær løsning. Også "expand( )" og "simplify( )" er effektive til reduktion. |
| Hjem4 |
Bemærk, at afleveringsfristen er LØRDAG d. 30/11-2024! Dog ændret et par dage før fristen til søndag d. 11/11-2024. Opgave e1: Vær opmærksom på, at β-basens rækkefølge af matricer er vigtig. Det får betydning for placering af rækkerne i afbildningsmatricen. Afbildningsmatricen βMβ er en 4x4 matrix, da V er et 4-dimensionelt vektorrum. Det svære i opgave e1 er at tænke over, hvordan man skal gribe det an, når vektorerne faktisk er matricer. Miscrosoft CoPilot anvendt til at løse opgave c) i Hjem4-sættet: hjem4-c.pdf CoPilots metode umiddelbart minder MEGET om de fleste besvarelser, jeg har rettet! |
| Uge 12 LD |
Opgaver: Opgave 2: Fra den fuldstændige komplekse løsning til den fuldstændige reelle læsning med Python/SymPy: reel-los.pdf eller reel-los.ipynb Løses opgave 4 med Python/SymPy opdager man, at "udtryk.simplify( )" ikke kan reducere cos2(t)+sin2(t). Brug i stedet for trigsimp(udtryk) når der indgår trigonometri. Om differentialligninger: om-diff.pdf |
| Uge 12 SD |
Links WikiPedia: Ordinary differential equation: https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinary_differential_equation  Summary of exact solutions: https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinary_differential_equation#Summary_of_exact_solutions Teori: Sætning 12.1.1 kaldes normalt "panserformlen" på DTU. "P(t)" er stamfunktion til "a(t)" i formlen (står på siden før eller nede i selve beviset)! Differentialligninger, som burde være kendt fra gymnasiet. Den sidste i skemaet er "panserformlen": https://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-a/differentialligninger/losninger-til-differentialligninger Vigtige begreber og sætninger i eNote 12 (lineære differentialligningssystemer): enote12.pdf Python/SymPy: En differentialligning kan løses i Python/SymPy med "dsolve(Eq(VS,HS),y(t),ics={y(x0):y0})", hvor begyndelsesbetingelsen (ics) lyder at y(x0)=y0. VS og HS er venstre og højre side af differentialligningen (formuleret med y(t) som funktionen der løses for). Vigtigt at y(t) er defineret som "y=Function('y')". Et differentialligningssystem med 2 ligninger kan løses i Python/SymPy med "dsolve((Eq1,Eq2),[y1(t),y2(t)],ics={y1(x0):y01,y2(x0):y02})", hvor de 2 ligninger er af typen "Eq(VS,HS)". Igen skal y1(t) og y2(t) defineres som "y1=Function('y1')" og "y2=Function('y2')". Sådan kan man fortsætte med flere dimensioner. NB: Vigtigt at definere t som et reelt tal: "t=symbols('t',real=True)". Ellers kan reduktion være svært når der indgår komplekse tal og sin hhv. cos og ei·t hhv. e-i·t. Løsning af differentialligninger (1. og 2. orden) og differentialligningssystem (1. orden), fuldstændig hhv. betinget løsning med Python/SymPy: difflign.pdf eller difflign.ipynb Opgave 3: bemærk at eet skal fortolkes som e^(e^t), da den anden mulighed (e^e)^t kan omskrives til e^(e*t) i følge potensregnereglerne! |
| Uge 11 LD |
Links WikiPedia: Diagonalizable matrix: https://en.wikipedia.org/wiki/Diagonalizable_matrix Matrix similarity: https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_similarity Teori: Vedr. diagonalisering: i noterne ønsker man at diagonalisere A til en diagonalmatrix Λ. Formlen lyder: Λ = V-1·A·V (eller Λ = Q-1·A·Q). V (eller Q) er simpelthen basisskiftematricen, dvs. eIDv hvor "e" er standardbasis og "v" er den nye basis bestående af egenvektorer! V-1 er så vIDe eller eIDv-1. A svarer så til afbildningsmatricen for afbildningen, hvor vektor x sendes over i A·x. At to matricer A og B er similære betyder, at der findes en invertibel matrix V, så A = V-1·B·V. |
| Uge 11 SD |
Links WikiPedia: Characteristic polynomial: https://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_polynomial Eigenvalues and eigenvectors of matrices: https://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalues_and_eigenvectors#Eigenvalues_and_eigenvectors_of_matrices Eigenvalues and eigenfunctions of differential operators: https://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalues_and_eigenvectors#Eigenvalues_and_eigenfunctions_of_differential_operators Change of basis: https://en.wikipedia.org/wiki/Change_of_basis Teori: Ifølge sætning 11.1.4 er det karakteristiske polynomium uafhængig af valg af basis. Det karakteristiske polynomium for en 2 x 2 matrix A har formen: λ2 - tr(A)·λ + det(A), hvor "tr(A)" er sporet af A, dvs. summen af diagonalelementerne. I en matrix med lutter reelle tal vil egenrummene være komplekst konjugerede, når egenværdierne er komplekst konjugerede. Det kan spare udregninger! Bevis: (ved konjugering) A=λ·v ⇔ A=λ·v ⇔ A=λ·v ⇔ A=λ·v (A=A, da alle tal i A er reelle) Sætning 11.2.4 medfører, at hvis am(λ) = 1, så er også gm(λ) = 1. Så i forbindelse med diagonalisering af matrix skal man kun undersøge gm(λ) for egenværdier λ med am(λ) ≥ 2. Python/SymPy: Egenværdier for A beregnes som "A.eigenvals( )", egenvektorerne beregnes som "A.eigenvects( )" og sporet som "A.trace( )". Opgaver: Opgave 3: resultaterne kan beregnes i VS Code (Python/SymPy) således: uge11SD3.png  |
| Uge 10 LD |
Opgaver: Opgave 1a: Når du har testet "expand((2+I)**6)" som angivet i Hint, så kan matricen genereres med Python/SymPy-koden: uge10LD1.png |
| Uge 10 SD |
Links WikiPedia: Linear map: https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_map Kernel, image and the rank–nullity theorem: https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_map#Kernel,_image_and_the_rank%E2%80%93nullity_theorem List of trigonometric identities (angle sum and difference identities): https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities#Angle_sum_and_difference_identities Hyperbolic functions (sinh, cosh): https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_functions#Definitions Derivatives (sinh, cosh): https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_functions#Derivatives Noter: Afbildnings- og basisskifte matricer: afb-skift.pdf Opgaver: Opgave 4 og opgave 6 er supervigtige! Opgave 4: sin(t) og cos(t) er ombyttet i opgave 4b hhv. opgave 4c. Vigtigt, når man skal bestemme afbildningsmatricen! Opgave 4c: brug formlerne fra de 2 sidste WikiPedia link ovenfor: ex = sinh(x) + cosh(x) og e-x = -sinh(x) + cosh(x) samt sinh(x) = ½·ex - ½·e-x og cosh(x) = ½·ex + ½·e-x Opgave 6: rangen af matrix kan findes med ".rank()". Baser i R2: (v1, v2) kaldes delta (δ), og standardbasis kaldes beta (β). Baser i R3: (w1, w2, w3) kaldes epsilon (ε), og standardbasis kaldes gamma (γ). |
| Hjem3 |
Opgave f): For at lykkes med beviset anbefales det at kalde "A" for "An", og dermed "det(An)" i formlen, som skal bevises. Det er ikke obligatorisk at lave et induktionsbevis - det er kun et vink. Jeg har også løst den ved at opstille en rekursionsformel. Hvis du skriver besvarelsen pænt op i Maple, så vær opmærksom på fejl i Maple 2024.1: Vektorer og matricer ikke altid vises korrekt i PDF: fejlprik.pdf , og pile udelades i PDF: fejlpile.pdf LØSNING: opdater til Maple 2024.2 (fra 29/10-2024): https://www.maplesoft.com/support/downloads/m2024_2update.aspx Desværre introducerer Maple 2024.2 en ny fejl med visning af "antal sider" i PDF: fejlside.pdf |
| Uge 09 LD (Tema 3) |
Links WikiPedia: Ohm's law: https://en.wikipedia.org/wiki/Ohm%27s_law Kirchhoff's circuit laws: https://en.wikipedia.org/wiki/Kirchhoff%27s_circuit_laws Navngivning og strømretninger på kuben: kube.png Python/SymPy-tips: 3tips.pdf eller 3tips.ipynb |
| Uge 09 SD |
Links WikiPedia: Vector space: https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space Vektorrum: Abstrakte vektorrum (geometriske, matricer, polynomier): vrum.pdf Python beregning af matricer som vektorer: vektmatr.pdf eller vektmatr.ipynb Opgave 1b): Overvej betydning af "reelt" hhv. "komplekst" vektorrum. "Reelt" betyder, at konstanterne man ganger med i en linearkombination skal være reelle. Ved "komplest" må man gange med komplekse konstanter. "Det reelle vektorrum C" har en basis bestående af 1 og i, og dim=2. "Det komplekse vektorrum C" har en basis bestående af 1, og dim=1. |
| Uge 08 LD |
Links WikiPedia: Determinant: https://en.wikipedia.org/wiki/Determinant Opgaver: Opgave 1: Transponering af matrix A kan lettest ske med "A.T" (demoerne bruger "A.transpose()". Opgave 2: Husk at matematik indekserer fra 1, Python fra 0! A(2;1) angiver at man har fjernet række 2 og søjle 1 fra matricen A (Definition 8.1.1 i noterne). Beregnes i Python/SymPy som "A.minorMatrix(1,0)". |
| Uge 08 SD |
Links WikiPedia: Matrix (mathematics): https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_(mathematics) Python: Praktisk initialisering i Jupyter NoteBook dokument til opgaveregning:  NB: "sympy" og "cmath" kan lave konflikt! "dtumathtools" anvendes ikke i Mat1a. Opgaver: Opgave 7: Identitetsmatricen af størrelse 3 x 3 opskrives som: "I3=eye(3)". Den sammensatte matrix skrives som: "AI3=A.row_join(I3)" eller "AI3=Matrix.hstack(A,I3)". Den inverse matrix så udtrækkes som: "InvA=AI3.rref(pivots=False)[0:3,3:6]". |
| Hjem2 |
Opgave a): Se tips for Uge04SD opgave 8a (metode let at huske), eller brug lemma 3.6.1 i eNoterne (færdig formel). Husk at bestemme den fuldstændige løsning! Opgave f): Se tips for Uge06SD vedr. induktionsbevis. |
| Uge 07 LD |
Sætning 6.1.2: Vigtig sætning, som siger at den fuldstændige løsning til det inhomogene system består af: én partikulær løsning (hvis den findes!) + den fuldstændige løsning til det tilsvarende homogene system. |
| Uge 07 SD |
Links WikiPedia: Matrix (mathematics): https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_(mathematics) Row echelon form: https://en.wikipedia.org/wiki/Row_echelon_form System of linear equations: https://en.wikipedia.org/wiki/System_of_linear_equations Begreber: Lineært ligningssystem, homogent, inhomogent, inkonsistent (= ingen løsning), entydig løsning (= netop én løsning), partikulær løsning, fuldstændig løsning, koefficient matrix, totalmatrix, kvadratisk matrix, pivot element (= ledende 1-tal), rang, r × s matrix (r rækker, s søjler). Vigtige begreber og sætninger i eNote 06 (lineære ligningssystemer): enote06.pdf Fra reduceret trappeform til fuldstændig løsning af ligningssystem: traplign.pdf |
| Efterårsferie |
Ingen undervisning på DTU i kalenderuge 42. Brug gerne efterårsferien til at repetere pensum og opgaver, da der kun er 1 dags 'læseferie' før eksamen!. Nu er der gået 6 uger, og der er 7 uger tilbage i semesteret. |
| Uge 06 LD (Tema 2) |
Links WikiPedia: Bisection method: https://en.wikipedia.org/wiki/Bisection_method Newton's method: https://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method NB: Bisektion metoden er sikker, hvis funktionen er kontinuert, og funktionsværdierne i de 2 punkter har forskellig fortegn. Newton's metode er hurtig ved enkeltrod, men ikke sikker! Langsommere ved rod af højere multiplicitet: newton.pdf Links Webmatematik: Tangentligningen: https://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-b/differentialregning/tangentens-ligning |
| Uge 06 SD |
Links WikiPedia: Mathematical induction: https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_induction Geometric series: https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series Numerical integration: https://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_integration Simpson's rule: https://en.wikipedia.org/wiki/Simpson%27s_rule Teori: Induktionsbevis: eNoten 05 mangler følgende udvidelser om induktionsbevis: * startværdien behøver ikke være i n=1, kan også være i n=0 eller f.eks. n=2. * der kan være flere startværdier, som man skal teste, f.eks. n=1 og n=2. * induktionsantagelsen skal evt. gælde for tilfældet n=1 og n=2 eller for alle tilfælde ≤ n-1. Eksempler på induktionsbeviser: indukt.pdf (af Mikael Hjermitslev Hoffmann, DTU)Numerisk integation (venstresum, højresum, midtsum, trapezsum, Simpsonsum): summer.pdf Opgaver: Opgave 6d: brug r=½. Opgave 9a: summen kaldes højresum for arealet. |
| Uge 05 LD |
Links WikiPedia: Recursion: https://en.wikipedia.org/wiki/Recursion Recursion (computer science): https://en.wikipedia.org/wiki/Recursion_(computer_science) Hermite polynomials: https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials Integration by parts: https://en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_parts |
| Uge 05 SD |
Links WikiPedia: Polynomial long division: https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_long_division YouTube link: Long Division With Polynomials - The Easy Way!: https://www.youtube.com/watch?v=_FSXJmESFmQ  Værktøj: Polynomial Long Division Calculator (step by step): https://www.emathhelp.net/en/calculators/algebra-1/polynomial-long-division-calculator/ |
| Uge 04 LD (Tema1) |
Dokumentation af "cmath"-pakken til Python: https://docs.python.org/3/library/cmath.html Illustration af del IV opgave 5: tema1del4opg5.ggb  |
| Uge 04 SD |
Links WikiPedia: Komplekse tal: https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number Lemma 3.6.1: Mangler den fuldstændige løsning til ez = w, som er z = ln(|w|)+i·(Arg(w)+2·π·p), hvor Arg(w) er hovedargumentet for w og p∈Z. Opgaver: Opgave 1d: ethvert polynomium af formen A·(z-z1)·(z-z4)·(z-B) er en løsning. Bruger man svaret fra 1b, så ved man at z3+8 er en løsning. Opgave 6b: brug lemma 4.3.3. Opgave 8a: man kan med fordel omskrive ez = ex· ei·y , hvor det komplekse tal z = x + i·y (x og y er reelle tal). Se metoden: zligxiy.pdf Overvej hvordan løsningerne er placeret i den komplekse plan. Bemærk at ligninger indenfor de komplekse tal kan have mange løsninger, og at man skal være meget omhyggelig ved løsning af ligningen. Opgave 8b: start med at anvende nulreglen for et produkt. |
| Uge 03 LD |
Links WikiPedia: Enhedscirklen med kendte værdier: https://en.wikipedia.org/wiki/File:Unit_circle_angles_color.svg Tabel med trigonometriske eksakte værdier: https://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_functions#Simple_algebraic_values Links Webmatematik: Differentiation af sammensat funktion: https://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-b/differentialregning/differentiation-af-sammensat-funktion Produktreglen for differentiation: https://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-b/differentialregning/regneregler-for-differentialkvotienter Opgaver: Opgave 3a: Følg metoden i eksempel 3.5.1 i eNote 03. Opgave 5c: Vigtig tænke-opgave! |
| Uge 03 SD |
Links WikiPedia: Komplekse tal: https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number Links Webmatematik: Kvadratsætningerne: https://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-c/tal-og-regnearter/kvadratsaetningerne Kvadratkomplettering: https://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-b/andengradspolynomium-og-ligning/kvadratkomplettering Opgaver: Opgave 1: bemærk at den imaginære enhed i matematik hedder "i". Programmeringssprog kalder den ofte for "I" eller måske "j" eller "J". NB: "I" ligner ofte "1"! Opgave 2a: tegn i hånden, eller brug GeoGebra (hvor man forneden blot kan indtaste "-2+3·i" og så få punktet placeret. Opgave 4b: i GeoGebra kan man plotte det konjugerede punkt til z1 med kommandoen "conjugate(z_1)". Bemærk at z1 skrives "z_1". Interaktiv løsning i GeoGebra af opgave 4b: Uge03SDopg4b.ggb Opgave 9b: teoretisk opgave!. Man kan se på de 2 muligheder for i. Da i ≠ 0 gælder enten 0 < i eller i < 0 (⇔ 0 < -I). Brug så punkt 4 i opgave 9 på i < 0 og i < 0 (og bagefter på 0 < -i og 0 < -i). Opnå i begge tilfælde modstriden: 0<-1! |
| Uge 02 LD |
Software (gratis): Hent GeoGebra (suverænt til geometri, grafer mm.): https://www.geogebra.org/download?lang=da Links WikiPedia: Function composition: https://en.wikipedia.org/wiki/Function_(mathematics)#Function_composition Injective, surjective and bijective functions: https://en.wikipedia.org/wiki/Function_(mathematics)#Injective,_surjective_and_bijective_functions Derivatives of inverse trigonometric functions: https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Derivatives_of_inverse_trigonometric_functions Invers funktion: Inverse function rule: https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_function_rule Differentiation af omvendte funktioner: https://www.youtube.com/watch?v=geELass6TuI Eksempel på differentiation af invers funktion: invers.pdf Opgaver: Opgave 2a: svaret er forkert! Det interessante for om f o g eksisterer er, om g's værdimængde er indeholdt i f 's definitionsmængde. Tilsvarende vil g o f eksistere, hvis f 's værdimængde er indeholdt i g's definitionsmængde. Opgave 4a og 4b: lave graf i GeoGebra med "a" som skyder. Opgave 5a: tegn grafer i GeoGebra. |
| Uge 02 SD |
Links WikiPedia: Venn diagram: https://en.wikipedia.org/wiki/Venn_diagram Kendte punkter på enhedscirklen: https://en.wikipedia.org/wiki/File:Unit_circle_angles_color.svg Trigonometriske funktioner (f.eks. sin): https://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_functions Inverse trigonometriske funktioner (f.eks. arcsin): https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions Hyperbolske funktioner (f.eks. sinh): https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_functions Graf over hyperbolske funktioner (f.eks. sinh): https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_functions#/media/File%3ASinh_cosh_tanh.svg Inverse hyperbolske funktioner (f.eks. arsinh): https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_functions#Inverse_functions_as_logarithms Formler: * gradtal / 180 = radiantal / π * injektivitet og surjektivitet for en funktion f: A → B afhænger af 3 oplysninger: forskriften for f, mængden A, mængden B. * For en funktion f: A → B kaldes A for definitionsmængden, B for dispositionsmængden og f(A) for værdimængden eller "image". * Dm(f -1) = Vm(f) og Vm(f -1) = Dm(f). * "arc" betyder buestykke i f.eks. arcsin og "ar" betyder areal i f.eks. arsinh. * Vm(arcsin) = [-π/2;π/2] , Vm(arccos) = [0:π] og Vm(arctan) = ]-π/2;π/2[. |
| Uge 01 LD |
Opgaver: Opgave 6d: Vis med sandhedstavler, at implikationen p ⇒ q er ækvivalent med not(p) or q. Så er biimplikationen p ⇔ q dvs. (p ⇒ q and q ⇒ p) ækvivalent med (not(p) or q) and (not(q) or p). Brug dette udtryk i Python med p hhv. q som True hhv. False. Se Python i VS code: uge01SDopg6.png |
| Uge 01 SD |
Links WikiPedia: Sandhedstavler: https://en.wikipedia.org/wiki/Truth_table Logiske gates: https://en.wikipedia.org/wiki/Logic_gate Værktøj: Truth Table Generator (step by step): https://trutabgen.com/ (NB: findes også som app til Android og iPhone) |
| AI-software |
Microsoft Copilot: https://copilot.microsoft.com/ (login med din DTU-konto) Det er reelt set ChatGPT 4, hvor indtastningerne ikke sendes ud på nettet (data beskyttet, se markering øverst til højre). Microsoft Copilot Designer: https://copilot.microsoft.com/images/create (login med din DTU-konto) Kan generere billeder med ønsket indhold! |
| Gymnasiepensum |
Matematik: https://www.webmatematik.dk |
| Interaktiv lærebog |
Lineær Algebra: https://textbooks.math.gatech.edu/ila/ |
| Markdown SymPy VS Code |
Google Docs understøtter nu Markdown: https://workspaceupdates.googleblog.com/2024/07/import-and-export-markdown-in-google-docs.html Markdown Guide: https://dl.icdst.org/pdfs/files3/c79990b0b853932d36ddc117ce2503e3.pdf SymPy dokumentation: https://docs.sympy.org/latest/reference/index.html VS Code shortcuts: https://code.visualstudio.com/shortcuts/keyboard-shortcuts-windows.pdf |