| Python/SymPy |
Praktisk anvendelse af Python/SymPy i VSCode: Små fiduser: fiduser.pdf  eller fiduser.ipynb  Komplekse tal: kompleks.pdf eller kompleks.ipynb Polynomier: polynom.pdf eller polynom.ipynb Funktioner og differentiation: funktion.pdf eller funktion.ipynb Matrixregning: matrix.pdf eller matrix.ipynb Matricer som vektorer: vektmatr.pdf eller vektmatr.ipynb Ligningssystem: lignsyst.pdf eller lignsyst.ipynb Differentialligninger: difflign.pdf eller difflign.ipynb |
| Uge 13 SD |
Python/SymPy: NB: "_" (1 underscore) er sidste svar, "__" (2 underscore) er 2. sidste svar, "___" (3 underscore) er 3. sidste svar! Ufatteligt effektivt! "difflign.subs(y(t),udtryk)" indsætter et udtryk i stedet for y(t) i løsningen af en differentialligningen difflign. Smart når man skal indsætte et udtryk for at bestemme en partikulær løsning. Også "expand( )" og "simplify( )" er effektive til reduktion. Kl. 15.30-17.00: Möbius-test i sidste uges Python/Sympy opgave. Kan optjene 2.5 points. |
| Uge 12 SD |
Links WikiPedia: Ordinary differential equation: https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinary_differential_equation  Summary of exact solutions: https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinary_differential_equation#Summary_of_exact_solutions Teori: Sætning 13.1.1 kaldes normalt "panserformlen" på DTU. "P(t)" er stamfunktion til "a(t)" i formlen (står på siden før eller nede i selve beviset)! Husk selv integrationskonstanten! Differentialligninger, som burde være kendt fra gymnasiet. Den sidste i skemaet er "panserformlen". NB: "a(x)" står her på venstre side, så pas på fortegn. https://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-a/differentialligninger/losninger-til-differentialligninger  Vigtige begreber og sætninger i lærebogen 13 (lineære differentialligningssystemer): enote13.pdf Om differentialligninger: om-diff.pdf Opgave 3: bemærk at eet skal fortolkes som e^(e^t), da den anden mulighed (e^e)^t kan omskrives til e^(e·t) i følge potensregnereglerne! Python/SymPy: En differentialligning kan løses i Python/SymPy med "dsolve(Eq(VS,HS),y(t),ics={y(x0):y0})", hvor begyndelsesbetingelsen (ics) lyder at y(x0)=y0. VS og HS er venstre og højre side af differentialligningen (formuleret med y(t) som funktionen der løses for). Vigtigt at y(t) er defineret som "y=Function('y')". Et differentialligningssystem med 2 ligninger kan løses i Python/SymPy med "dsolve((Eq1,Eq2),[y1(t),y2(t)],ics={y1(x0):y01,y2(x0):y02})", hvor de 2 ligninger er af typen "Eq(VS,HS)". Igen skal y1(t) og y2(t) defineres som "y1=Function('y1')" og "y2=Function('y2')". Sådan kan man fortsætte med flere dimensioner. NB: Vigtigt at definere t som et reelt tal: "t=symbols('t',real=True)". Ellers kan reduktion være svært når der indgår komplekse tal og sin hhv. cos og ei·t hhv. e-i·t. Løsning af differentialligninger (1. og 2. orden) og differentialligningssystem (1. orden), fuldstændig hhv. betinget løsning med Python/SymPy: difflign.pdf eller difflign.ipynb Kl. 15.30 åbner en tematisk Python/Sympy opgave. Sørg for at arbejde med den frem til næste store dag, hvor der vil være test i emnet kl. 15.30. |
| Hjem3 |
Ikke obligatorisk at aflevere. Din besvarelse tæller ikke med til eksamen. Men du træner dig selv til eksamen! Opgave c): Man skal anvende basisskiftematricer. Findes i uge 09 LD og uge 10 pensum! Opgave d): Afbildningsmatricen βMβ skal være en 4 x 4 matrix. Opfat 2 x 2 matricerne som 4 x 1 vektorer! Steens løsning til opgave c: hjem3c.pdf (indlagt efter afleveringsfristen, da mange ikke løser det korrekt og mange ikke anvender metoden fra pensum!) |
| Uge 11 SD |
Links WikiPedia: Characteristic polynomial: https://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_polynomial Eigenvalues and eigenvectors of matrices: https://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalues_and_eigenvectors#Eigenvalues_and_eigenvectors_of_matrices Teori: Ifølge sætning 12.1.4 er det karakteristiske polynomium uafhængig af valg af basis. Det karakteristiske polynomium for en 2 x 2 matrix A har formen: λ2 - tr(A)·λ + det(A), hvor "tr(A)" er sporet af A, dvs. summen af diagonalelementerne. I en matrix med lutter reelle tal vil egenrummene være komplekst konjugerede, når egenværdierne er komplekst konjugerede. Det kan spare udregninger! Bevis: (ved konjugering) A=λ·v ⇔ A=λ·v ⇔ A=λ·v ⇔ A=λ·v (A=A, da alle tal i A er reelle) Sætning 12.2.4 medfører, at hvis am(λ) = 1, så er også gm(λ) = 1. Så i forbindelse med diagonalisering af matrix skal man kun undersøge gm(λ) for egenværdier λ med am(λ) ≥ 2. Opgaver: Opgave 5b: Klart at matricen bliver en diagonalmatrix med egenværdierne i diagonalen, når man har skiftet til &beat;-basen, som består af egenvektorer. Opgave 6a: Først med opgave 6b kan man angive am (geometriske multiplicitet)! Python/SymPy: Egenværdier for A beregnes som "A.eigenvals( )", egenvektorerne beregnes som "A.eigenvects( )" og sporet som "A.trace( )". Kl. 15.30-17.00: Möbius-test i sidste uges Python/Sympy opgave. Kan optjene 2.5 points. |
| Uge 10 SD |
Links WikiPedia: Linear map: https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_map Kernel, image and the rank–nullity theorem: https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_map#Kernel,_image_and_the_rank%E2%80%93nullity_theorem Hyperbolic functions (sinh, cosh): https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_functions#Definitions Derivatives (sinh, cosh): https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_functions#Derivatives Change of basis: https://en.wikipedia.org/wiki/Change_of_basis Noter: Afbildnings- og basisskifte matricer: afb-skift.pdf Opgaver: Opgave 6: Meget forvirrende symbolbrug! Først defineres V1 ved a+b·Z+c·Z2. I hint til spørgsmål c står der a·Z2+b·Z+c. Kl. 15.30 åbner en tematisk Python/Sympy opgave. Sørg for at arbejde med den frem til næste store dag, hvor der vil være test i emnet kl. 15.30. |
| Uge 09 SD |
Links WikiPedia: Vector space: https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space Vektorrum: Abstrakte vektorrum (geometriske, matricer, polynomier): vrum.pdf Python beregning af matricer som vektorer: vektmatr.pdf eller vektmatr.ipynb Opgaver: Opgave 4: Overvej betydning af "reelt" hhv. "komplekst" vektorrum. "Reelt" betyder, at konstanterne man ganger med i en linearkombination skal være reelle. Ved "komplest" må man gange med komplekse konstanter. "Det reelle vektorrum C" har en basis bestående af 1 og i, og dim=2. "Det komplekse vektorrum C" har en basis bestående af 1, og dim=1. Kl. 15.30-17.00: Möbius-test i sidste uges Python/Sympy opgave. Kan optjene 2.5 points. |
| Uge 08 SD |
Links WikiPedia: Kernel (= nullspace): https://en.wikipedia.org/wiki/Kernel_(linear_algebra) Row and column spaces: https://en.wikipedia.org/wiki/Row_and_column_spaces Dimension (vector space): https://en.wikipedia.org/wiki/Dimension_(vector_space) Opgaver: Opgave 1b: 2 vektorer, som ikke er proportionale og ikke er nulvektor, er altid lineært uafhængige! Opgave 3a: Den reducerede trappeform beregnes i Python+Sympy: A.rref(pivots=False). Opgave 3b: Nulrummet (kernen) findes ved at løse det homogene ligningssystem A·x=0. Python+Sympy: A.nullspace(). Søjlerummet består af en basis for rummet udspændt af alle søjlevektorer. Basis er et maksimalt lineært uafhængigt sæt af søjlevektorer. Python+Sympy: A.columbspace() Opgave 5: At løse det homogene ligningssystem er det samme som et finde nulrummet (kernen) for koefficientmatricen. Opgave 7: Når vektorrummet R3 er 3-dimensionelt, så vil ethvert sæt af 3 lineært uafhængige vektorer være en basis for vektorrummet! Kl. 15.30 åbner en tematisk Python/Sympy opgave. Sørg for at arbejde med den frem til næste store dag, hvor der vil være test i emnet kl. 15.30. |
| Hjem2 |
Ikke obligatorisk at aflevere. Din besvarelse tæller ikke med til eksamen. Men du træner dig selv til eksamen! Opgave e): En opgave i induktionsbevis. Den er utraditionel, da der er tale om en ulighed, og ikke en ligning som er trænet på lille dag i uge 5! Så tænk dig om. Steens løsning til opgave e: hjem2e.pdf (indlagt efter afleveringsfristen, da mange ikke løser det korrekt) |
| Uge 07 SD |
Links WikiPedia: Matrix multiplication (fidus til at huske): https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_(mathematics)#/media/File:MatrixMultiplication.png Linear independence: https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_independence Kl. 15.30-17.00: Möbius-test i sidste uges Python/Sympy opgave. Kan optjene 2.5 points. |
| Efterårsferie |
Ingen undervisning på DTU i kalenderuge 42. Brug gerne efterårsferien til at repetere pensum og opgaver, da der kun er 1 dags 'læseferie' før eksamen søndag d. 7/12!. Nu er der gået 6 uger, og der er 7 uger tilbage i semesteret. |
| Uge 06 SD |
Links WikiPedia: Matrix (mathematics): https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_(mathematics) Row echelon form: https://en.wikipedia.org/wiki/Row_echelon_form System of linear equations: https://en.wikipedia.org/wiki/System_of_linear_equations Begreber: Lineært ligningssystem, homogent, inhomogent, inkonsistent (= ingen løsning), entydig løsning (= netop én løsning), partikulær løsning, fuldstændig løsning, koefficient matrix, totalmatrix, kvadratisk matrix, pivot element (= ledende 1-tal), rang, r × s matrix (r rækker, s søjler). Sætning 6.1.2: Vigtig sætning, som siger at den fuldstændige løsning til det inhomogene system består af: én partikulær løsning (hvis den findes!) + den fuldstændige løsning til det tilsvarende homogene system. Kl. 15.30 åbner en tematisk Python/Sympy opgave. Sørg for at arbejde med den frem til næste store dag, hvor der vil være test i emnet kl. 15.30. Opgaven er skrevet i JupyterNotebook. Har du ikke fået installeret Python og VSCode, så se på: https://pythonsupport.dtu.dk/ |
| Uge 05 SD |
Links WikiPedia: Polynomial long division: https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_long_division YouTube link: Long Division With Polynomials - The Easy Way!: https://www.youtube.com/watch?v=_FSXJmESFmQ  Værktøj: Polynomial Long Division Calculator (step by step): https://www.emathhelp.net/en/calculators/algebra-1/polynomial-long-division-calculator/ |
| Hjem1 |
Ikke obligatorisk at aflevere. Din besvarelse tæller ikke med til eksamen. Men du træner dig selv til eksamen! Besvarelsen uploades i Learn under "Opgaver" på relevante gruppe. NB: På DTU kan man ikke aflevere efter fristens udløb! Besvarelsen skal rumme argumentationer for svarene. Læs nærmere på: https://01001.compute.dtu.dk/Info/KursetsOpbygning.html#hjemmeopgaver Du kan skrive opgaven i et velegnet elektronisk program f.eks. Maple eller WordMat, og så konvertere filen til PDF før aflevering. Alternativt kan du skrive i hånden og så scanne/affotografere siderne. Samles til én PDF-fil, som afleveres. Opgave b): Det vil være en god ide, at opskrive f(x) som et "tuborg-udtryk" hvor der deles op ved x=1. Udbyt så din viden om 2. grads polynomier og parabler. |
| Uge 04 SD |
Links WikiPedia: Polynomier: https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial Rødder i 2. grads polynomier: https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_function#Exact_roots Opgaver: Opgave 2: vigtig! Opgave 3d: ethvert polynomium af formen A·(z-z1)·(z-z4)·(z-B) er en løsning. Bruger man svaret fra 3b, så ved man at z3+8 er en løsning. Opgave 7a: man kan med fordel omskrive ez = ex· ei·y , hvor det komplekse tal z = x + i·y (x og y er reelle tal). Se metoden: zligxiy.pdf Overvej hvordan løsningerne er placeret i den komplekse plan. Bemærk at ligninger indenfor de komplekse tal kan have mange løsninger, og at man skal være meget omhyggelig ved løsning af ligningen. Opgave 7b: start med at anvende nulreglen for et produkt. Opgave 8c: moralen er, at hvis polynomiet har reelle koefficienter, så er rødderne parvis konjugerede! |
| Uge 03 SD |
Links WikiPedia: Komplekse tal: https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number Opgaver: Opgave 1: bemærk at den imaginære enhed i matematik hedder "i". Programmeringssprog kalder den ofte for "I" eller måske "j" eller "J". NB: "I" ligner ofte "1"! Opgave 2a: tegn i hånden, eller brug GeoGebra (hvor man forneden blot kan indtaste "-2+3·i" og så få punktet placeret. Opgave 4b: i GeoGebra kan man plotte det konjugerede punkt til z1 med kommandoen "conjugate(z_1)". Bemærk at z1 skrives "z_1". De 4 spejlinger i opgave 4b kan illustreres med GeoGebra: Uge03SDopg4b.ggb  Opgave 9b: teoretisk opgave!. Man kan se på de 2 muligheder for i. Da i ≠ 0 gælder enten 0 < i eller i < 0 (&IFF; 0 < -I). Brug så punkt 4 i opgave 9 på 0 < i og 0 < i (og bagefter på 0 < -i og 0 < -i). Opnå i begge tilfælde modstriden: 0<-1! |
| Uge 02 SD |
Links WikiPedia: Venn diagram: https://en.wikipedia.org/wiki/Venn_diagram Hyperbolske funktioner (f.eks. sinh): https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_functions Graf over hyperbolske funktioner (f.eks. sinh): https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_functions#/media/File%3ASinh_cosh_tanh.svg Inverse hyperbolske funktioner (f.eks. arsinh): https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_hyperbolic_functions Links Webmatematik: Kvadratsætningerne: https://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-c/tal-og-regnearter/kvadratsaetningerne Kvadratkomplettering: https://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-b/andengradspolynomium-og-ligning/kvadratkomplettering Formler: * gradtal / 180 = radiantal / π * injektivitet og surjektivitet for en funktion f: A → B afhænger af 3 oplysninger: forskriften for f, mængden A, mængden B. * For en funktion f: A → B kaldes A for definitionsmængden, B for dispositionsmængden og f(A) for værdimængden eller "image". * Dm(f -1) = Vm(f) og Vm(f -1) = Dm(f). * "arc" betyder buestykke i f.eks. arcsin og "ar" betyder areal i f.eks. arsinh. * Vm(arcsin) = [-π/2;π/2] , Vm(arccos) = [0:π] og Vm(arctan) = ]-π/2;π/2[. |
| Uge 01 SD |
Links WikiPedia: Sandhedstavler: https://en.wikipedia.org/wiki/Truth_table Logiske gates: https://en.wikipedia.org/wiki/Logic_gate Værktøj: Truth Table Generator (step by step): https://trutabgen.com/ (NB: findes også som app til Android og iPhone) Truth Table Generator notation: truthtab.pdf |
| AI-software |
Microsoft Copilot: https://m365.cloud.microsoft/chat (login med din DTU-konto) Det er reelt set ChatGPT-5, hvor indtastningerne ikke sendes ud på nettet (data beskyttet, se markering øverst til højre). |
| Gymnasiepensum |
Matematik: https://www.webmatematik.dk Mat A STX formelsamling: https://emu.dk/sites/default/files/2019-11/mat-A-stx-formelsamling-feb-2019.pdf |
| Interaktiv lærebog |
Lineær Algebra: https://textbooks.math.gatech.edu/ila/ |
| Markdown |
Google Docs understøtter nu Markdown: https://workspaceupdates.googleblog.com/2024/07/import-and-export-markdown-in-google-docs.html Markdown Guide: https://dl.icdst.org/pdfs/files3/c79990b0b853932d36ddc117ce2503e3.pdf |
| SymPy |
SymPy dokumentation: https://docs.sympy.org/latest/reference/index.html |
| Matplotlib |
Matplotlib plottypes: https://matplotlib.org/stable/plot_types/ Matplotlib quick start guide: https://matplotlib.org/stable/users/explain/quick_start.html Matplotlib user guide: https://matplotlib.org/stable/users/ Matplotlib cheatsheets: https://matplotlib.org/cheatsheets/ |
| VS Code |
VS Code shortcuts: https://code.visualstudio.com/shortcuts/keyboard-shortcuts-windows.pdf |